分岔理论

分解理论是对给定曲线族的定性或拓扑结构变化的数学研究，例如矢量场族的积分曲线，以及微分方程族的解。 最常应用于动力系统的数学研究，当对系统的参数值（分叉参数）进行的微小平滑变化导致其行为突然“定性”或拓扑变化时，就会发生分叉。 分叉出现在连续系统和离散系统中。

将分叉分为两个主要类别是有用的：

• 局部分岔，当参数超过临界阈值时，可以完全通过平衡、周期轨道或其他不变集的局部稳定性属性的变化来分析；
• 全局分岔，当系统的较大不变集相互“碰撞”或与系统达到平衡时，通常会发生这种情况。 它们不能仅通过平衡（固定点）的稳定性分析来检测。

当参数变化导致平衡（或固定点）的稳定性发生变化时，就会发生局部分叉。 在连续系统中，这对应于通过零的平衡特征值的实部。 在离散系统（由地图描述）中，这对应于具有模数等于 1 的 Floquet 乘数的固定点。 在这两种情况下，分叉点处的平衡都是非双曲线的。通过将分叉参数移动到分叉点附近，可以将系统相图中的拓扑变化限制在分叉不动点的任意小邻域内（因此 '当地的'）。

从技术上讲，考虑由常微分方程 (ODE) 描述的连续动力系统

x ˙ = f ( x , λ ) f : R n × R → R n 。

如果雅可比矩阵 d f x 0 , λ 0 具有实部为零的特征值。 如果特征值等于零，则分岔是稳态分岔，但如果特征值非零但纯虚数，则这是 Hopf 分岔。

对于离散动力系统，考虑系统

x n + 1 = f ( x n , λ ) 。

如果矩阵 d f x 0 , λ 0 具有模等于一的特征值。 如果特征值等于 1，则分岔是鞍结点（在地图中通常称为折叠分岔）、跨临界分岔或干草叉分岔。 如果特征值等于 -1，则为倍周期（或翻转）分岔，否则为 Hopf 分岔。

当“更大”的不变集（例如周期轨道）与平衡点发生碰撞时，就会出现全局分岔。 这会导致相空间中轨迹的拓扑结构发生变化，而不能像局部分叉那样限制在一个小的邻域内。 事实上，拓扑结构的变化延伸到任意大的距离。

全球分叉的例子包括：

• 同宿分岔，其中极限环与鞍点相撞。 同宿分岔可以超临界或亚临界发生。 上面的变体是小型或 I 型同宿分岔。 在 2D 中，还有大的或 II 型同宿分岔，其中同宿轨道捕获鞍的不稳定和稳定流形的另一端。 在三个或更多维度中，可能会出现更高的余维分叉，从而产生复杂的、可能是混沌的动力学。
• 异宿分岔，其中极限环与两个或多个鞍点相撞； 它们涉及异宿循环。 异宿分岔有两种类型：共振分岔和横向分岔。 两种类型的分叉都会导致异宿旋回稳定性的变化。