朱利亚集合

在复杂动力学的背景下，数学的一个分支，朱利亚集合和 Fatou 集是从一个函数定义的两个互补集（Julia laces 和 Fatou dusts）。 非正式地，函数的 Fatou 集由具有以下属性的值组成，即所有附近的值在函数的重复迭代下表现相似，而朱利亚集合由任意小的扰动可以导致迭代函数序列发生剧烈变化的值组成 值。因此函数在 Fatou 集上的行为是规则的，而在朱利亚集合上它的行为是混沌的。

函数 f⟩ 的朱利亚集合通常表示为 J ⁡ ( f ) , {\displaystyle \operatorname {J} (f),} 而法头集表示为 F ⁡ ( f ) 。 {\displaystyle \operatorname {F} (f).} 这些集合以法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Fatou 的名字命名，他们的工作在 20 世纪初开始研究复杂的动力学。

设 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 是从黎曼球面到自身的非常数全纯函数。 这样的函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 正是非常数复有理函数，即 f ( z ) = p ( z ) / q ( z ) {\displaystyle f(z) =p(z)/q(z)} 其中 p ( z ) {\displaystyle p(z)} 和 q ( z ) {\displaystyle q(z)} 是复数多项式。 假设p 和q 没有公共根，并且至少有一个的度数大于1。则存在有限个开集F 1 , 。 . . , F r {\displaystyle F_{1},...,F_{r}} 由 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 保持不变并且是这样的：

• 集合 F i {\displaystyle F_{i}} 的并集在平面上是稠密的并且
• f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在每个集合 F i {\displaystyle F_{i}} 上以规则且相等的方式表现。

最后的陈述意味着由 F i {\displaystyle F_{i}} 的点生成的迭代序列的终点要么是完全相同的集合，那么它就是一个有限循环，或者它们是循环的有限循环或 同心放置的环形组。 在xxx种情况下，周期是吸引的，在第二种情况下，它是中性的。

这些集合 F i {\displaystyle F_{i}} 是 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的法图域，它们的并集是法图集 F ⁡ ( f ) {\displaystyle \ f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的运算符名称 {F} (f)} 。 每个 Fatou 域包含至少一个 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的临界点，即一个（有限）点 z 满足 f ′ ( z ) = 0 {\displaystyle f' (z)=0} ，或 f ( z ) = ∞ {\displaystyle f(z)=\infty } 如果分子 p ( z ) {\displaystyle p(z)} 的次数至少为二 大于分母的次数 q ( z ) {\displaystyle q(z)} ，或者如果 f ( z ) = 1 / g ( z ) + c {\displaystyle f(z)=1/g(z )+c} 对于一些 c 和有理函数 g ( z ) {\displaystyle g(z)} 满足这个条件。

F ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {F} (f)} 的补集是 f ( z ) 的朱利亚集合 J ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {J} (f)} {\displaystyle f(z)} 。 如果所有的临界点都是前周期的，也就是说它们不是周期性的但最终落在一个周期性的循环上，那么 J ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {J} (f)} 就是整个球体。 否则，J ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {J} (f)} 是无处稠密集（它没有内点）和不可数集（与实数具有相同的基数）。 就像 F ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {F} (f)} 一样， J ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {J} (f)} 由 f ( z ) { displaystyle f(z)} ，并且在这个集合上迭代是排斥的，这意味着 | f ( z ) − f ( w ) | > | z − w | {\displaystyle |f(z)-f(w)|>|z-w|} 对于 z 邻域内的所有 w（在 J ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {J} (f)} ). 这意味着 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在朱利亚集合上表现得很混乱。 虽然朱利亚集合中有点的迭代序列是有限的，但这样的点的数量是可数的（而且它们构成了朱利亚集合的无穷小部分）。 由该集合外的点生成的序列表现得很混乱，这种现象称为确定性混沌。

对迭代有理函数的 Fatou 集和朱利亚集合（称为有理映射）进行了广泛的研究。 例如，已知有理映射的 Fatou 集具有 0、1、2 或无限多个分量。 有理映射的 Fatou 集的每个组件都可以分为四个不同类别之一。

• J ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {J} (f)}是至少包含三个点的最小闭集，在f下完全不变。
• J ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {J} (f)} 是排斥周期点集合的闭包。
• 对于除了最多两个点之外的所有点 z ∈ X , {\displaystyle \;z\in X\;,}