A公理

在数学中，Smale 的公理 A 定义了一类动力系统，这些系统已被广泛研究并且其动力学相对较好地理解。 混沌假说证明了此类系统的重要性，该假说指出，“出于所有实际目的”，多体恒温系统近似于 Anosov 系统。

令 M 为具有微分同胚 f 的光滑流形：M→M。 如果满足以下两个条件，则f是公理A微分同胚：

• f 的非漫游集 Ω(f) 是双曲集且紧。
• f 的周期点集在 Ω(f) 中是稠密的。

对于曲面，非漫游集的双曲性意味着周期点的密度，但这在更高维度中不再适用。 尽管如此，公理 A 的微分同胚有时也被称为双曲微分同胚，因为 M 中有趣的动力学发生的部分，即 Ω(f)，表现出双曲行为。

公理微分同胚概括了 Morse-Smale 系统，它满足进一步的限制（有限多个周期点和稳定和不稳定子流形的横截面）。 Smale horseshoe map是一个公理A微分同胚，具有无限多的周期点和正的拓扑熵。

任何 Anosov 微分同胚都满足公理 A。在这种情况下，整个流形 M 是双曲的（尽管非游走集 Ω(f) 是否构成整个 M 是一个悬而未决的问题）。

Rufus Bowen 证明了任何公理 A 微分同胚的非游走集 Ω(f) 支持马尔可夫划分。 因此，将 f 限制为 Ω(f) 的某个通用子集与有限类型的移位共轭。

非游走集合中周期点的密度意味着其局部xxx值：存在 Ω(f) 的开邻域 U

公共系统的一个重要特性是它们对小扰动的结构稳定性。 也就是说，扰动系统的轨迹与未扰动系统保持 1-1 拓扑对应。 这个属性很重要，因为它表明公理系统并非例外，而是在某种意义上“稳健”。

更准确地说，对于 f 的每个 C1 扰动 fε，其非游动集由两个紧凑的 fε 不变子集 Ω1 和 Ω2 组成。 xxx个子集通过同胚 h 同胚到 Ω(f)，h 将 f 到 Ω(f) 的限制与 fε 到 Ω1 的限制共轭：

如果 Ω2 为空，则 h 在 Ω(fε) 上。 如果每个扰动 fε 都是这种情况，则 f 称为 omega 稳定的。 微分同胚 f 是 omega 稳定的当且仅当它满足公理 A 和无循环条件（轨道一旦离开不变子集就不会返回）。