球极平面投影

在数学中，立体投影是球体通过球体上的特定点（投影的极点或中心）到垂直于通过该点的直径的平面（投影平面）上的透视投影。 它是一个光滑的双射函数，从除投影中心外的整个球体到整个平面。 它将球体上的圆映射到平面上的圆或线，并且是共形的，这意味着它保留了曲线相交的角度，因此局部近似地保留了形状。 它既不是等距（距离保持）也不是等面积（面积保持）。

立体投影提供了一种用平面表示球体的方法。 由从平面到球体的逆立体投影引起的度量定义平面中点之间的测地线距离等于它们表示的球面点之间的球面距离。 立体平面上的二维坐标系是球面解析几何的替代设置，而不是球面极坐标或三维笛卡尔坐标。 这是双曲平面的庞加莱圆盘模型的球面模拟。

直觉上，立体投影是一种将球体描绘成平面的方式，但有一些不可避免的妥协。 因为球体和平面出现在数学及其应用的许多领域，所以立体投影也是如此； 它可用于复杂分析、制图、地质学和摄影等多个领域。 有时，立体计算是使用一种称为立体网（简称立体网或 Wulff 网）的特殊方格纸以图形方式完成的。

三维空间 R3 中的单位球体 S2 是满足 x2 + y2 + z2 = 1 的点集 (x, y, z)。令 N = (0, 0, 1) 为北极，令 M 成为球体的其余部分。 z = 0 平面穿过球心； 赤道是球体与这个平面的交点。

对于 M 上的任意一点 P，存在一条通过 N 和 P 的xxx直线，并且这条直线与平面 z = 0 恰好在一个点 P' 处相交，称为 P 在平面上的立体投影。

在球体上的笛卡尔坐标 (x, y, z) 和平面上的 (X, Y) 中

在球体上的球坐标（φ, θ）（φ为天顶角，0≤φ≤π，θ为方位角，0≤θ≤2π）和平面上的极坐标（R，θ）中

这里，当 R = 0 时，φ 被理解为具有值 π。此外，有许多方法可以使用三角恒等式重写这些公式。