克莱因-戈尔登方程

克莱因-戈尔登方程（克莱因-福克-戈登方程或有时克莱因-戈登-福克方程）是一个与薛定谔方程相关的相对论波动方程。 它在空间和时间上是二阶的，并且明显是洛伦兹协变的。 它的解决方案包括量子标量或伪标量场，其量子是无自旋粒子的场。 它的理论相关性类似于狄拉克方程。 可以结合电磁相互作用，形成标量电动力学的课题，但由于像π介子这样的普通无自旋粒子不稳定，而且还经历强相互作用（哈密顿量中的相互作用项未知），实用性有限。

该方程可以转化为薛定谔方程的形式。 在这种形式中，它表示为两个耦合微分方程，每个都是一阶时间。 解有两个分量，反映相对论中的电荷自由度。 它承认守恒量，但这不是正定的。 因此，波函数不能解释为概率幅度。 守恒量被解释为电荷，波函数的范数平方被解释为电荷密度。 该方程描述了所有带正电荷、负电荷和零电荷的无自旋粒子。

对于自由狄拉克方程的四个分量中的每一个，自由狄拉克方程的任何解都是自由克莱因-戈尔登方法的解。 克莱因-戈尔登方法并不构成一致的量子相对论单粒子理论的基础。 对于任意自旋的粒子，还没有这样的已知理论。 为了使量子力学与狭义相对论完全协调，需要量子场论，其中克莱因-戈尔登方法重新出现为所有自由量子场的分量所遵循的方程。 在量子场论中，原始方程的自由（非相互作用）版本的解仍然发挥作用。 需要它们来构建希尔伯特空间（Fock 空间）并使用完整的波函数集（希尔伯特空间的跨越集）来表达量子场。

克莱因-戈尔登录方法可以用不同的方式编写。 方程本身通常指的是位置空间形式，它可以用分离的空间和时间分量

通过将场傅里叶变换到动量空间，解通常写成平面波的叠加，平面波的能量和动量服从狭义相对论的能量-动量色散关系。 光速 c {\displaystyle c} 和普朗克常数 ℏ {\displaystyle \hbar } 经常被认为会扰乱方程式

与薛定谔方程不同，克莱因-戈尔登方法允许每个 k 有两个 ω 值：一个正值和一个负值。 只有分离出正负频率部分，才能得到描述相对论波函数的方程。

这在形式上与齐次屏蔽泊松方程相同。