披萨定理

在初等几何中，比萨定理陈述了当一个人以某种方式划分磁盘时出现的两个区域的相等性。

该定理之所以如此命名，是因为它模仿了传统的比萨饼切片技术。 它表明，如果两个人分享一个切成 8 块（或 4 大于 8 的任意倍数）的比萨饼，并交替取薄片，则无论这些薄片的中心切割点是否 就在圆圈的正中央。

设p为圆盘的一个内点，n为4的倍数且大于等于8。通过p选择任意一条直线，旋转n/2，形成圆盘的n个等角扇区 − 以 2π/n 弧度的角度进行 1 次，并在每条生成的 n/2 行上对圆盘进行切片。 以顺时针或逆时针方式对扇区进行连续编号。 然后比萨定理指出：

奇数扇区的面积总和等于偶数扇区的面积总和 (Upton 1968)。

比萨定理最初是由 Upton (1967) 作为挑战问题提出的。 Michael Goldberg 发布的这个问题的解决方案涉及对扇区面积的代数表达式的直接操作。Carter & Wagon (1994a) 通过解剖提供了另一种证明。 他们展示了如何将扇区划分为更小的部分，以便奇数扇区中的每个部分在偶数扇区中都有一个全等的部分，反之亦然。 Frederickson (2012) 给出了所有情况的一系列解剖证明（其中扇区数为 8、12、16，...）。

扇区数必须是四的倍数这一要求是必要的：正如 Don Coppersmith 所展示的那样，将磁盘分成四个扇区，或者将多个扇区划分为不能被四整除的扇区，通常不会产生相等的面积。 马布里 Deiermann (2009) 回答了 Carter & 的一个问题。 Wagon (1994b) 通过提供定理的更精确版本来确定在面积不相等的情况下两组扇区中哪一组具有更大的面积。 具体来说，如果扇区数为 2（mod 8）并且没有片穿过磁盘中心，则包含中心的片子子集的面积小于其他子集，而如果扇区数为 6（mod 8) 且没有切片通过中心，则包含中心的切片子集面积较大。 直线切割不可能有奇数个扇区，无论扇区数有多少，通过中心的切片都会导致两个子集相等。

马布里 Deiermann (2009) 还观察到，当比萨饼被平分时，它的外皮也被平分（外皮可以解释为圆盘的周长或圆盘边界与具有相同中心的较小圆之间的区域 ，切点位于后者的内部），并且由于两个圆圈所包围的磁盘被均匀划分，因此它们之间存在差异。 然而，当披萨分配不均时，获得最多披萨区域的用餐者实际上得到最少的披萨饼皮。

正如 Hirschhorn 等人。 (1999) 注意，披萨的等分也会导致其配料的等分，只要每个配料分布在一个圆盘中（不一定与整个比萨饼同心），该圆盘包含中心点 p 分为 部门。

赫希霍恩等人。 (1999) 表明，以与比萨定理相同的方式将比萨切成 n 个具有相等角度的扇区，其中 n 可以被 4 整除，也可以在 n/4 人之间平均共享。 例如，一个分成12个扇区的比萨，可以由三个人平分，也可以由两个人平分； 然而，为了容纳所有五个 Hirschhorns，披萨需要分成 20 个部分。

Cibulka 等。 (2010) 和 Knauer, Micek & Ueckerdt (2011) 研究了选择免费披萨片以保证大份额的博弈论，这是 Dan Brown 和 Peter Winkler 提出的一个问题。 在他们研究的问题版本中，比萨饼被径向切成薄片（不保证等角扇区），两个用餐者交替选择与已吃过的扇区相邻的比萨饼。

如果两个用餐者都试图最大化他们吃的比萨饼的数量，那么吃xxx片的用餐者可以保证比萨饼总量的 4/9 份额，并且存在不能再吃更多的比萨饼切片。 公平分配或切蛋糕问题考虑的是类似的游戏，在这些游戏中，不同的玩家对如何衡量自己份额的大小有不同的标准； 例如，一位用餐者可能更喜欢吃最多的意大利辣香肠，而另一位用餐者可能更喜欢吃最多的奶酪。

Brailov (2021)、Brailov (2022)、Ehrenborg、Morel & Readdy (2022) 将此结果扩展到更高维度。