ARCH模型

ARCH模型或自回归条件异方差时间序列模型是用于时间序列分析的随机模型，借助该模型，金融数学时间序列尤其可以用非常量来描述挥发性。 他们从假设随机模型误差的条件方差取决于前一时期已实现的随机误差开始，因此大 大小小的误差往往会出现在集群中。

时间序列 ( x t ) t ∈ Z， 被称为 ARCH(p) 时间序列，如果它递归定义为

x t = σ t ϵ t σ t 2 = a 0 + a 1 x t − 1 2 +⋯ + a p x t − p 2 ,

对于 ARCH 模型，附加条件是 σ t对于所有 t ∈ Z关于 ( ϵ s ) s ≤ t − 1  生成的σ-代数是可测的，如下陈述：

• 与过去相关的期望值和条件方差为：

E ⁡ ( x t ∠ x t − 1 , x t − 2 , … ) = 0

一个 ARCH(p) 时间序列 ( x t ) {\displaystyle (x_{t})} 是（弱）平稳的当且仅当特征多项式的全为零

P ( z ) = 1 − a 1 z − ⋯ − a p z p位于复单位圆之外。

• • 平稳的 ARCH(p) 时间序列具有平稳期望 E ⁡ ( x t ) = 0 并且其自相关消失： Cov ⁡ ( x t , x t + h ) = 0 。

适用于它们的平稳方差

Var ⁡ ( x t ) = a 0 1 − ∑ k = 1 p a k 。

• 如果 ( x t )是平稳的 ARCH(p) 时间序列，其中 E ⁡ ( x t 4 ) < ∞ ，那么平方过程 ( x t 2 ) {\displaystyle (x_{t}^{2})} 是一个 AR 时间系列。

ARCH 模型的思想以各种方式得到进一步发展，现在自然成为计量经济学高级方法的一部分。