拓扑空间

在拓扑和相关分支数学，一个拓扑空间可以被定义为一组的点，与一组沿社区对于每个点，满足一组公理有关点和社区。拓扑空间的定义仅依赖于集合论，并且是数学空间的最通用概念，它允许定义诸如连续性，连通性和收敛性等概念。其他空间，例如歧管和度量空间是具有额外结构或约束的拓扑空间的专业化。拓扑空间是如此笼统，是中心统一概念，并且几乎出现在现代数学的每个分支中。自行研究拓扑空间的数学分支称为点集拓扑或一般拓扑。

可以将各种拓扑放在一组上以形成拓扑空间。当拓扑每一套τ ₁也是拓扑τ ₂和τ ₁的一个子集τ ₂，我们说τ ₂是细比τ ₁和τ ₁是粗糙的比τ ₂。仅依赖于某些开放集的存在的证明也适用于任何更精细的拓扑，类似地，仅依赖于某些未开放集的证明适用于任何较粗糙的拓扑。术语较大和有时分别使用较小的代替较细的。文献中也使用了“更强”和“更弱”两个术语，但是在含义上几乎没有一致，因此在阅读时应始终确保作者的约定。

上给定的固定集合中的所有拓扑的集合X形成一个完整的晶格：如果˚F = { τ _α | α＆Element;甲}是拓扑的集合X，则满足的˚F是的交点˚F，和加入的˚F是所有拓扑的集合的满足X包含的每一个成员˚F。

函数 ˚F  ：X → ý拓扑空间之间被称为连续，若对所有X中X和每个街区Ñ的˚F（X）有一个附近中号的X，使得˚F（中号）⊆ Ñ。这很容易与分析中的通常定义有关。等效地，如果每个开放集的反像都是开放的，则f是连续的。这是一种尝试，以了解函数中没有“跳转”或“分离”的直觉。甲同胚是一个双射是连续的并且其逆也是连续的。两个空间称为同构，如果它们之间存在一个同胚。从拓扑的观点来看，同胚空间本质上是相同的。

在范畴论，顶部，该拓扑空间范畴与拓扑空间为对象，并连续函数为态射，是根本的一个类别。尝试通过不变量对此类对象进行分类（直到同胚），这激发了研究领域，例如同伦论，同源论和K-理论。

给定的集合可能具有许多不同的拓扑。如果给定集合不同的拓扑，则将其视为不同的拓扑空间。可以给任何集合以离散拓扑，其中每个子集都是开放的。该拓扑中xxx的收敛序列或网络是最终恒定的序列或网络。同样，任何集合都可以被赋予琐碎的拓扑（也称为离散拓扑），其中只有空集合和整个空间是开放的。此拓扑中的每个序列和网络都收敛到空间的每个点。此示例表明，在一般拓扑空间中，序列的限制不必xxx。但是，拓扑空间通常必须是极限点xxx的Hausdorff空间。

可以为拓扑空间的每个子集提供子空间拓扑，其中开放集是较大空间的开放集与子集的交集。对于任何索引族的拓扑空间，可以为乘积指定乘积拓扑，该乘积拓扑是由投影映射下的因子的开放集的逆图像生成的。例如，在有限产品中，产品拓扑的基础由开放集的所有产品组成。对于无限的产品，还存在一个额外的要求，即在一个基本的开放集中，几乎所有其投影都将是整个空间。

甲商空间被定义为如下：如果X是一个拓扑空间和ÿ是一组，并且如果˚F  ：X → ý是一个满射 函数，然后在商拓扑ÿ是子集的集合ÿ具有开放逆图像在f下。换句话说，商拓扑是最细拓扑ÿ为其˚F是连续的。商拓扑的一个常见示例是在拓扑空间X上定义了等价关系。地图那么f是对等价类集的自然投影。

该Vietoris拓扑结构上设定一个拓扑空间的所有非空子集的X，命名为莱奥波德·维托里斯，由下面的基础上产生的：每ñ元组ü ₁，...，ü _ñ的开集在X，我们构建了一个基集，该基集由U _i的并集的所有子集组成，这些子集与每个U _i具有非空交集。

在费尔拓扑上的集的所有非空闭子集的局部紧 波兰空间 X是Vietoris拓扑的一个变种，并命名后的数学家詹姆斯下跌。它是由下列基础生成的：每ñ元组ü ₁，...，ü _ñ的开集在X和每个紧集ķ，集合的所有子集的X是不相交ķ和具有非空交叉点每个U _i都是基础的成员。

拓扑空间可以根据其拓扑性质大致分类，直至同胚。拓扑性质是在同胚性下不变的空间性质。为了证明两个空间不是同胚的，找到它们不共享的拓扑性质就足够了。此类属性的示例包括连接性，紧致性和各种分离公理。有关代数不变量的信息。

对于任何代数对象，我们都可以引入离散拓扑，在该拓扑下，代数运算是连续函数。对于任何这种不是有限的结构，在代数运算仍然是连续的意义上，我们经常具有与代数运算兼容的自然拓扑。这导致了诸如拓扑组、拓扑向量空间、拓扑环和局部场等概念。