地下水流量方程

在水文地质学中，地下水流量方程是用来描述地下水通过含水层的流动的数学关系。地下水的瞬态流动通过扩散方程的形式来描述，类似于在传热中用于描述固体中热量流动（热传导）的形式。地下水的稳态流动由拉普拉斯方程的一种形式描述，这是一种势流形式，在许多领域都有类似物。地下水流量方程通常是针对较小的代表元素体积(REV)导出的，其中介质的属性被假定为有效恒定。对流入和流出这个小体积的水进行质量平衡，关系中的通量项通过使用称为达西定律的本构方程以水头表示，这要求流动是层流的。其他方法基于基于代理的模型，以结合复杂含水层的影响，例如岩溶或断裂岩石（即火山）

必须执行质量平衡，并与达西定律一起使用，以得出瞬态地下水流量方程。这种平衡类似于传热中用于得出热方程的能量平衡。这只是一个会计声明，对于给定的控制体积，除了源或汇之外，不能产生或破坏质量。质量守恒指出，对于给定的时间增量(Δt)，流入边界的质量、流出边界的质量以及体积内的源之间的差异就是存储量的变化。

质量可以表示为密度乘以体积，在大多数情况下，水可以被认为是不可压缩的（密度不取决于压力）。穿过边界的质量通量然后变成体积通量（如达西定律所示）。这在其他领域被称为扩散方程或热方程，它是抛物线偏微分方程（PDE）。该数学语句表明水头随时间的变化（左侧）等于通量(q)和源项(G)的负散度。现在，如果水力传导率(K)在空间上是均匀且各向同性的（而不是张量），它可以从空间导数中取出，简化为拉普拉斯算子，其中汇/源项G现在具有相同的单位，但除以适当的蓄水项（由水力扩散率替代定义）。

特别是在使用矩形网格有限差分模型（例如，美国地质调查局制造的MODFLOW）时，我们处理笛卡尔坐标。MODFLOW代码离散并模拟控制地下水流方程的正交3-D形式。但是，如果用户愿意，它可以选择以准3D模式运行；在这种情况下，模型处理垂直平均的T和S，而不是k和Ss。在准3D模式中，使用泄漏的概念计算2D水平层之间的流量。

另一个有用的坐标系是3D圆柱坐标系（通常，抽油井是位于原点的线源-平行于z轴-导致会聚径向流）。假设该方程表示流向位于原点的抽水井（强度为G的汇）的流量。这个方程和上面的笛卡尔方程都是地下水流动的基本方程，但要达到这一点需要相当大的简化。进入这两个方程的一些主要假设是：

• 含水层材料是不可压缩的（由于压力变化-即沉降，基质没有变化），
• 水的密度恒定（不可压缩），
• 含水层上的任何外部载荷（例如，覆盖层、大气压力）是恒定的，
• 对于一维径向问题，抽水井完全穿透了非渗漏含水层，
• 地下水流动缓慢（雷诺数小于一），并且
• 水力传导率(K)是一个各向同性的标量。

尽管有这些大的假设，但由于源和汇的瞬态分布，地下水流量方程很好地表示了含水层中水头的分布。

如果含水层具有补给边界条件，则可以达到稳态（或者在许多情况下可以用作近似值），并且扩散方程（上图）简化为拉普拉斯方程。该方程表明水头是调和函数，在其他领域有很多类似物。拉普拉斯方程可以使用技术来求解，使用上述类似的假设，但有稳态流场的额外要求。在土木工程和土壤力学中求解该方程的常用方法是使用绘制流网的图形技术；其中水头等高线和流函数构成曲线网格，可以近似求解复杂的几何形状。流向抽水井的稳态流动（从未真正发生过，但有时是一个有用的近似值）通常称为Thiem解决方案。

上述地下水流量方程适用于三维流量。在非承压含水层中，由于存在自由表面地下水位边界条件，方程的3D形式的解变得复杂：除了求解水头的空间分布之外，该表面的位置也是未知数。这是一个非线性问题，即使控制方程是线性的。从含水层底部延伸到非饱和地表。这个距离被称为饱和厚度，b。在承压含水层中，饱和厚度由含水层的高度H决定，且各处的压头均非零。在非承压含水层中，饱和厚度定义为地下水位表面与含水层底部之间的垂直距离。这个公式允许我们在无约束流动的情况下应用标准方法来求解线性偏微分方程。对于没有补给的非均质含水层，势流法可用于混合承压/非承压情况。