图同态

在代数拓扑学和图论中，图同态描述了图的同态组，其中图被视为一个拓扑空间。它正式确定了图中洞的数量的概念。它是简单同源的一个特例，因为图是简单复合体的一个特例。由于有限图是一个1-复数（即它的"面"是顶点--是0维的，而边--是1维的），唯 一非琐碎的同源群是第0群和第1群。

拓扑空间X的第1同调群的一般公式为：。{displaystyleH_{1}(X):=kerpartial_{1}{big/}operatorname{im}.{pos(2)}部分{pos(2)}下面的例子在图上充分解释了这些符号和概念。

让X是一个有3个顶点{x,y,z}和4条边{a:x→y,b:y→z,c:z→x,d:z→x}的定向图。它有几个循环。

一个循环由循环a+b+c表示。这里，加号表示所有的边都在同一方向上行走。由于加法运算是交换性的，"+"号表示循环a+b+c，b+c+a，c+a+b，都代表同一个循环。

第二个循环由循环a+b+d表示，第三个循环由循环c-d表示。如果我们沿着a+b+d的循环切割平面，然后在c处切割并在d处粘合，我们会得到一个沿着a+b+c的循环的切割。

这可以用以下关系表示：（a+b+d）+（c-d）=（a+b+c）。为了正式定义这个关系，我们定义以下的换元组。C0是由顶点{x,y,z}集合生成的自由非线性群。

C1是由有向边{a,b,c,d}的集合生成的自由非线性群，C1的每个元素被称为0维链。C1的每个元素被称为一个1维链。

上面提到的三个循环是一维链，事实上，(a+b+d)+(c-d)=(a+b+c)的关系在群C1中成立。C1中的大多数元素不是循环，例如a+b，2a+5b-c等都不是循环。

为了正式定义一个循环，我们首先定义边界。一条边的边界被表示为∂1{displaystyle{partial_{1}}来表示，并定义为其目标减去算子表示，并定义为其目标减去其源，因此{displaystylepartial_{1}}的内核有两个生成器：一个对应a+b+c，另一个对应a+b+d。

有两个生成器：一个对应于a+b+c，另一个对应于a+b+d（第三个循环，c-d，是前两个循环的线性组合）。在一般的拓扑空间中，我们会定义更高维的链。特别是，C2将是2维物体集合上的自由非线性群。

然而，在一个图中没有这样的对象，所以C2是一个琐碎的群。因此，第二个边界算子的图像。这与图形有两个洞的直观事实相对应。

指数是孔的数量。一般情况上述例子可以推广到一个任意的连接图G=（V，E）。让T是G的生成树。E/T中的每条边都对应于一个循环；这些正是线性独立循环。因此，图的第 一同源群H1是具有|ET|生成器的自由非线性群。