环形码

环形码是一种拓扑量子纠错码，也是稳定器码的一个例子，定义在二维自旋晶格上。它是最简单的、研究得最透彻的量子双重模型。它也是最简单的拓扑秩序-Z2拓扑秩序的例子（1991年在Z2自旋液体的背景下首次研究）。

环形密码也可以被认为是一个特定极限的Z2格子规整理论。它是由AlexeiKitaev提出的。环形密码的名字来自它的周期性边界条件，使它具有环形的形状。

这些条件使模型具有平移不变性，这对分析性研究很有用。然而，一些实验的实现需要开放的边界条件，允许系统被嵌入一个二维表面。由此产生的代码通常被称为平面代码。在大多数情况下，但不是所有情况下，它的行为都与环形码相同。

环形码被定义在一个二维晶格上，通常被选择为方形晶格，每个边上有一个自旋半自由度。它们被选择为周期性的。稳定器算子被定义在每个顶点周围的自旋上对于环形密码来说，这个空间是四维的，因此可以用来存储两个量子比特的量子信息。

这可以通过考虑独立稳定器算子的数量来证明。错误的发生会将状态移出稳定器空间，导致上述条件不成立的顶点和斑块。这些违规的位置就是代码的综合症，可以用于纠错。

拓扑码的独特性质，如环形码，是稳定器违反可以被解释为准粒子。具体来说，如果代码处于一个状态斑块上的任意子。因此，稳定器空间对应于任意子真空。单一自旋误差导致成对的任子被产生并在格子周围传送。当误差创造出一对任子并移动任子时，我们可以想象出一条连接这两个任子的路径，由所有被作用的环节组成。如果任子随后相遇并被湮灭，这条路径描述了一个循环。

如果这个循环在拓扑上是微不足道的，那么它对存储的信息没有影响。在这种情况下，任意子的湮灭纠正了它们在创造和传输过程中涉及的所有错误。然而，如果循环在拓扑上是不重要的，尽管任意子的重新湮灭将状态返回到稳定器空间，但它也对存储的信息实施了一个逻辑操作。因此，在这种情况下，错误不是被纠正，而是被巩固。

考虑噪声模型，其中位和相位错误独立地发生在每个自旋上，两者的概率都是p。当p较低时，这将产生稀疏分布的任意子对，这些任意子没有远离它们的创建点。

纠正可以通过识别任意子被创建的对来实现（直到一个等价类），然后重新消灭它们以消除错误。然而，随着p的增加，任意子如何配对而又不至于形成拓扑学上的非三段式循环的风险就变得更加模糊了。这就给出了一个阈值概率，在这个阈值下，错误纠正几乎肯定会成功。

通过对随机键伊辛模型的映射，这个临界概率被发现为11%左右。其他错误模型也可以被考虑，并找到阈值。在迄今为止研究的所有案例中，代码都被发现达到了Hashing边界的饱和。