牛顿分形

牛顿分形是复平面上的一个边界集，它的特征是牛顿方法应用于固定多项式p(Z)∈ℂ[Z]或超越函数。它是由牛顿方法给出的子母函数z↦z-p(z)/p′(z)的朱利亚集。当没有吸引人的循环（阶数大于1）时，它将复平面划分为Gk区域，每个区域都与多项式的一个根ζk相关，k=1,...,deg(p)。这样一来，牛顿分形与曼德布罗特集相似，与其他分形一样，它表现出一种由简单描述产生的复杂的外观。它与数值分析有关，因为它表明（在二次收敛的区域之外）牛顿方法对其起始点的选择可能非常敏感。几乎复平面上的所有点都与一个给定的多项式的deg(p)根相关，其方式如下：该点被用作牛顿迭代的起始值z0zn+1:=zn-p(zn)/p'(zn)，产生一个点序列z1,z2,...,如果该序列收敛到根ζk，那么z0是区域Gk的一个元素。然而，对于每一个至少2度的多项式，都有牛顿迭代不收敛于任何根的点：例子是各种根的吸引盆地的边界。甚至有一些多项式，其起点的开放集不能收敛到任何根：一个简单的例子是z3-2z+2，其中一些点被循环0,1,0,1...而不是根所吸引。一个开放的集合，其迭代收敛于一个给定的根或循环（不是一个固定点），是迭代的法图集。所有这些集合的互补集是朱利亚集。法图集有共同的边界，即朱利亚集。因此，Julia集的每个点都是每个Fatou集的累积点。正是这一特性导致了朱利亚集的分形结构（当多项式的度数大于2时）。为了绘制分形的图像，可以先选择指定数量的d个复数点（ζ1,...,ζd）并计算多项式的系数（p1,...,pd）。ℂ中的点，找到相应的根ζk(m,n)的索引k(m,n)，并通过给每个点(m,n)分配颜色fk(m,n)来填充一个M×N的光栅网格。此外，或者说，颜色可能取决于距离D(m,n)，它被定义为xxx个值D，使得|zD-ζk(m,n)|<ε对于一些先前固定的小ε>0。

牛顿迭代的一般化是其中a是任何复数。当a位于以1为中心的半径为1的圆盘内时，该地图的固定点是稳定的。当a位于该圆盘外时，固定点是局部不稳定的，但该地图仍表现出Julia集意义上的分形结构。如果p是d度的多项式，那么只要a在以d为中心的半径为d的圆盘内，序列zn就是有界的。更一般地说，牛顿分形是朱利亚集的一个特例。三等3级根p(z)=z3-1的牛顿分形，按所需迭代次数着色牛顿分形的三度3根p(z)=z3-1，按达到的根数着色p(z)=z3-2z+2的牛顿分形。红色盆地中的点没有达到根。

七阶多项式的牛顿分形图，以达到的根数来标示，以收敛率来标示。p(z)=z8+15z4-16的牛顿分形图p(z)=z5-3iz3-(5+2i)z2+3z+1的牛顿分形，根据达到的根数着色，根据需要的迭代次数着色.p(z)=sinz的牛顿分形，根据达到的根数着色，根据需要的迭代次数着色。p(z)=sinz的另一个牛顿分形p(z)=z3-1,a=-1/2的广义牛顿分形。颜色是根据40次迭代后的参数选择的。p(z)=z2-1,a=1+i的广义牛顿分形。p(z)=z3-1,a=2的广义牛顿分形。p(z)=z4+3i-1,a=2.1的广义牛顿分形。新星分形20世纪90年代中期，保罗-德比郡发明了新星分形，它是牛顿分形的概括，每一步都增加了一个值c。