因果滤波器

在信号处理中，因果滤波器是一个线性和时间不变的因果系统。因果这个词表明，滤波器的输出只取决于过去和现在的输入。一个输出也取决于未来输入的滤波器是非因果的，而一个输出只取决于未来输入的滤波器是反因果的。

可实现的系统（包括过滤器）（即实时运行的系统）必须是因果的，因为这种系统不能作用于未来的输入。

实际上，这意味着最能代表时间输入的输出样本是出来的时间稍晚。数字滤波器的一个常见设计做法是通过缩短和/或时间转移非因果脉冲响应来创建一个可实现的滤波器。

如果有必要缩短，通常是通过脉冲响应与窗函数的乘积来实现的。反因果滤波器的一个例子是xxx相位滤波器，它可以被定义为一个稳定的、反因果的滤波器，其倒数也是稳定的和反因果的。

下面的定义是输入数据的移动（或滑动）平均值{displaystylef(x)=int_{x-1}{x+1}s(tau),dtau=int_{-1}{+1}s(x+tau),dtau,}其中x可以代表一个空间坐标，如在图像处理中。但如果{displaystyle(t)}，那么这样定义的移动平均线就是非因果的（也称为非可实现的）。

那么这样定义的移动平均线就是非因果的（也叫非可实现的），因为{displaystylef(t-1)=int_{-2}{0}s(t+tau),dtau=int_{0}{+2}s(t-tau),dtau}。这是一个非实现输出的延迟版本。

任何线性滤波器（如移动平均线）都可以用一个叫做脉冲响应的函数h（t）来描述。它的输出是卷积而这两个表达式的一般相等要求h(t)=0，对于所有t<0。

让h(t)是一个因果滤波器，有相应的傅里叶变换H(ω)。定义函数这是非因果的。另一方面，g(t)是赫米特的，因此，其傅里叶变换G(ω)是实值的。我们现在有以下关系{displaystyleh(t)=2,Theta(t)cdotg(t),}其中Θ(t)为G(ω)，Θ(t)为G(ω)。其中Θ(t)是Heaviside的单位阶跃函数。

这意味着h(t)和g(t)的傅里叶变换有如下关系{displaystyle{widehat{G}}(omega),}是在希尔伯特变换中完成的。是一个在频域（而不是时域）完成的希尔伯特变换。对上述方程进行希尔伯特变换可以得到H和它的希尔伯特变换之间的这种关系。