希尔伯特变换

在数学和信号处理中，希尔伯特变换是一个特定的线性算子，它取一个实变的函数u(t)，并产生另一个实变的函数H(u)(t)。这个线性算子是通过与函数1/( π t ){1/(πpi t)}的卷积得到的（见§定义）。希尔伯特变换在频域中有一个特别简单的表示。它给一个函数的每个频率分量带来±90°（π⁄2弧度）的相移，相移的符号取决于频率的符号（见§与傅里叶变换的关系）。希尔伯特变换在信号处理中很重要，它是实值信号u(t)的分析表示的一个组成部分。希尔伯特变换是由大卫-希尔伯特（David Hilbert）在这种情况下首次提出的，用于解决分析函数的黎曼-希尔伯特问题的一个特殊情况。

u的希尔伯特变换可以看作是u(t)与函数h(t)=1/π t的卷积，即所谓的Cauchy核。由于1⁄t在t=0时不可整定，定义卷积的积分并不总是收敛。相反，希尔伯特变换是用考奇主值（这里用p.v.表示）定义的。

只要这个积分作为一个主值存在。这正是u与回调分布p.v. 1/π t的卷积。另外，通过改变变量，

当希尔伯特变换连续两次应用于一个函数u时，结果是。

只要定义两个迭代的积分在合适的意义上收敛。特别是，反变换是H 3。.通过考虑希尔伯特变换对u(t)的傅里叶变换的影响，可以最容易地看到这一事实。

对于一个上半平面的解析函数，希尔伯特变换描述了边界值的实部和虚部之间的关系。也就是说，如果f(z)在上半复平面{z : Im{z}>0}中是解析的，而u(t)在上半复平面{z : Im{z}>0}中是解析的。直到一个加法常数，只要这个希尔伯特变换存在。

在信号处理中，u(t)的希尔伯特变换通常用u ^ ( t )表示。然而，在数学中，这个符号已经被广泛用于表示u(t)的傅里叶变换。偶尔，希尔伯特变换可以用u ~ ( t )来表示。此外，许多资料将希尔伯特变换定义为这里定义的负数。

希尔伯特的工作主要是关于定义在圆上的函数的希尔伯特变换。他早期与离散希尔伯特变换有关的一些工作可以追溯到他在哥廷根的讲座。这些成果后来由赫尔曼-韦尔在他的论文中发表。舒尔改进了希尔伯特变换的结果，并将其扩展到积分情况。

希尔伯特变换是一个乘法算子。H的乘数是σH(ω) = -i sgn(ω)，其中sgn是符号函数。