内在维度

一个数据集的内在维度可以被认为是数据的最小表示中所需要的变量数量。同样地，在多维信号的处理中，信号的内在维度描述了需要多少变量来产生信号的良好近似值。

然而，在估计本征维度时，通常使用基于流形维度的略微宽泛的定义，其中本征维度的表示只需要在局部存在。

因此，这种内在维度估计方法可以处理在数据集的不同部分具有不同内在维度的数据集。这通常被称为局部内在维度。

本征维度可以作为通过降维将数据集压缩到什么维度的下限，但它也可以作为数据集或信号的复杂性的衡量标准。对于一个有N个变量的数据集或信号，其内在维度M满足0≤M≤N，尽管估计者可能会产生更高的值。

内在维度的例子让{textstylef(x_{1},x_{2})}为双变量函数（或信号）。是一个双变量函数（或信号），其形式为对于某个非常数的单变量函数g。这意味着，根据g的变化，f随着第 一个变量或沿着第 一个坐标变化。

另一方面，相对于第二变量或沿第二坐标，f是常数。只需要知道一个变量，即xxx个变量的值，就可以确定f的值。

一个稍微复杂的例子是.f仍然是内在的一维，这可以通过做一个变量转换来看出由于f的变化可以用单一变量y1来描述，其内在维度为1。对于f是常数的情况，其内在维度为零，因为不需要变量来描述变化。对于一般情况，当双变量函数f的内在维度既不是零也不是一时，它是二。在文献中，本质维度为零、一或二的函数有时被分别称为i0D、i1D或i2D。

对于一个N个变量的函数f，变量集可以表示为一个N维的向量x。如果对于某个M变量函数g和M×N矩阵A来说，它是这样的M是可以找到上述f和g之间关系的最小数，那么f的内在维度就是M。

本征维度是对f的表征，它不是对g或A的明确表征。也就是说，如果上述关系对某些f、g和A是满足的，那么它对相同的f和g′以及A′也一定是满足的。

一个内在维度为M<N的N个变量函数有一个特征傅里叶变换。直观地说，由于这种类型的函数在一个或几个维度上是常数，它的傅里叶变换在频域中一定会像脉冲（常数的傅里叶变换）一样沿同一维度出现。

让f是一个双变量函数，它是i1D。这意味着存在一个归一化的矢量{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{textstylemathbf{x}}in`mathbb{R}{2}}..如果F是f的傅里叶变换（两者都是双变量函数）。