线性可分性

在欧几里得几何学中，线性可分性是两组点的一个属性。在二维空间（欧几里得平面）中，这一点最容易被形象化，即把一组点看成是蓝色的，另一组点看成是红色的。如果平面内至少存在一条线，线的一边是所有的蓝点，另一边是所有的红点，那么这两个集合就是线性可分离的。如果用超平面代替直线，这个想法立即可以推广到更高维的欧几里得空间。确定一对集合是否是线性可分离的，并在它们是线性可分离的情况下找到分离超平面，这个问题出现在几个领域。在统计学和机器学习中，对某些类型的数据进行分类是一个问题，在这个问题上存在基于这一概念的良好算法。

n维欧氏空间中的两个点。是n维欧几里得空间中的两组点。那么等价地，当两个集合各自的凸壳不相交（俗称不重叠）时，它们正是线性可分离的。在简单的二维空间中，我们也可以想象，线性变换下的点集会坍缩成一条线，在这条线上存在一个值，k，大于这个值的一组点会落入，而小于这个值的另一组点则会落入。

两类（'+'和'-'）中的三个非共线点在二维中总是可以线性分离的。下图中的三个例子说明了这一点（所有"+"的情况没有显示，但与所有"-"的情况类似）。然而，并不是所有的四点集合，没有三个相邻的，都是可以在二维空间中线性分离的。下面的例子需要两条直线，因此不是线性可分离的。请注意，三个相邻的、形式为+⋅⋅⋅-⋅⋅+的点也是不可线性分离的。n个变量的布尔函数的线性可分性n个变量的布尔函数可以被认为是对n个维度的布尔超立方体的每个顶点进行0或1的赋值。这使得顶点被自然地划分为两组。只要这两组点是线性可分的，就可以说布尔函数是线性可分的。不同的布尔函数的数量是

对数据进行分类是机器学习中的一项常见任务。假设给定了一些数据点，每个都属于两个集合中的一个，我们希望创建一个模型来决定一个新的数据点将属于哪个集合。

在支持向量机的情况下，一个数据点被看作是一个p维向量（p个数字的列表），我们想知道我们是否可以用一个（p-1）维的超平面来分离这些点。这就是所谓的线性分类器。有许多超平面可能对数据进行分类（分离）。作为最佳超平面的一个合理选择是代表两组数据之间xxx的分离，或者说是余量。因此，我们选择超平面，使其与每边最近的数据点的距离达到xxx。如果这样的超平面存在，它就被称为xxx边际超平面，它所定义的线性分类器就被称为xxx边际分类器。