自相关函数

自相关函数，在离散时间情况下有时被称为序列相关，是信号与自身的延迟拷贝的相关，是延迟的一个函数。非正式地讲，它是一个随机变量的观测值之间的相似性，是它们之间时间滞后的函数。自相关分析是寻找重复模式的数学工具，如被噪声掩盖的周期性信号的存在，或识别信号中由其谐波频率暗示的缺失的基本频率。它经常被用于信号处理中，用于分析函数或数值系列，如时域信号。

不同的研究领域对自相关的定义不同，而且并非所有这些定义都是等同的。在一些领域，该术语可与自变量互换使用。

单位根过程、趋势稳定过程、自回归过程和移动平均过程是具有自相关的过程的具体形式。

在统计学中，真实或复杂随机过程的自相关是该过程在不同时间的值之间的皮尔逊相关性，是两个时间或时间滞后的函数。让{ X t }{是一个随机过程，t是任意一个时间点（对于离散时间过程，t可以是一个整数，对于连续时间过程，可以是一个实数）。

其中E {displaystyle operatorname {E}}是期望值算子，条形代表复数共轭。注意，期望值可能不是很好定义。

在乘法之前减去平均数，可以得到时间t 1 {displaystyle t_{1}}和t 2 {displaystyle t_{2}}之间的自动协方差函数。

(公式2)

请注意，这个表达式并非对所有时间序列或过程都有很好的定义，因为均值可能不存在，或者方差可能为零（对于恒定过程）或无限大（对于分布缺乏良好矩的过程，如某些类型的幂律）。

如果 { X t }{是一个广义静止过程，那么均值μ {\displaystyle mu }和方差σ 2 {\displaystyle sigma {2}是与时间无关的，而且自协方差函数只取决于t 1 {\displaystyle t_{1}}和t 2 {\displaystyle t_{2}之间的滞后。自协方差只取决于这对数值之间的时间距离，而不取决于它们在时间上的位置。这进一步意味着自变量和自相关可以表示为时滞的函数，这将是时滞的偶数函数 τ = t 2 - t 1 {displaystyle tau =t_{2}-t_{1}}。.这就给出了更熟悉的自动相关函数的形式

在某些学科（如统计学和时间序列分析）中，将自变量函数归一化以得到与时间相关的皮尔逊相关系数是常见的做法。然而，在其他学科（如工程）中，通常放弃归一化，自相关和自变量这两个术语可以互换使用。

如果函数ρ X X {displaystyle rho _{XX}}定义良好，其值必须位于[ - 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}的范围内。，其中1表示完全相关，-1表示完全反相关。

对于广义静止（WSS）过程

归一化是很重要的，因为自相关的解释是一个相关的过程。