在数学中，初等函数是单个变量（通常是实数或复数）的函数，定义为对有限多个多项式、有理数、三角函数、双曲线和指数函数（可能包括它们的反函数）求和、乘积、根和组合 函数（例如，arcsin、log 或 x1/n）。

所有初等函数在其定义域上都是连续的。

初等函数由 Joseph Liouville 在 1833 年至 1841 年的一系列论文中引入。初等函数的代数处理由 Joseph Fels Ritt 在 1930 年代开始。

• 通过对前面的任何一个函数进行有限数量的加、减、乘或除得到的所有函数
• 初等函数系数多项式求根得到的所有函数
• 通过组合有限数量的任何先前列出的函数获得的所有函数

单个复杂变量 z 的某些基本函数， 此外，某些类别的功能可能会被其他人使用最后两条规则获得。 例如，由加、减、除组成的指数函数 e z {dISPlaystyle e{z}} 提供双曲函数，而初始组合 z i {diSPlaystyle z{i}} 则提供三角函数。

初等函数的例子包括：

• 添加，例如 (x+1)
• 乘法，例如 (2x)
• 多项式函数

最后一个函数等于整个复平面上的反余弦

所有单项式、多项式、有理函数和代数函数都是初等的。 实数 x {displaystyle x} 的绝对值函数也是初等的

非初等函数的一个例子是误差函数

一个可能不是很明显的事实，但可以使用 Risch 算法证明。

• 另请参阅 Liouvillian 函数和非基本积分中的示例。

从定义可以直接得出，初等函数集在算术运算、根提取和组合下是封闭的。 初等函数在微分下是封闭的。 它们在极限和无限和下不封闭。 重要的是，初等函数在积分下不是封闭的，如刘维尔定理所示，请参阅非初等积分。 Liouvillian 函数被定义为初等函数，递归地定义为 Liouvillian 函数的积分。

在微分代数的背景下考虑初等函数或初等形式的函数的数学定义。 微分代数是具有额外推导运算的代数（微分的代数版本）。 使用推导运算可以写出新的方程，并将它们的解用于代数的扩展。