联合谱半径

在数学中，联合谱半径是矩阵谱半径的经典概念对矩阵集的推广。 近年来，这一概念已在大量工程领域得到应用，并且仍然是一个活跃的研究课题。

一组矩阵的联合谱半径是该组矩阵乘积的xxx渐近增长率。 对于有限（或更一般地紧凑）矩阵集

可以证明极限存在并且数量实际上不依赖于所选择的矩阵范数（这对任何范数都是正确的，但特别容易看出范数是否是乘法的）。联合谱半径可用于描述某些小波函数的平滑特性。 从那时起，已经提出了大量的应用。 众所周知，联合谱半径量是 NP 难计算或近似的，即使集合 M {displaystyle {mathcal {M}}} 仅由两个矩阵组成，两个矩阵的所有非零元素都是 被限制为相等。 尽管如此，近年来对它的理解已经取得了很大进展，而且在实践中似乎常常可以计算出令人满意的精度的联合谱半径，而且它还可以为工程和数学问题带来有趣的见解。

尽管联合谱半径可计算性的理论结果是否定的，但已经提出了在实践中表现良好的方法。 算法甚至是已知的，它可以在先验可计算的时间内达到任意精度。 这些算法可以看作是试图逼近特定向量范数的单位球，称为极值范数。 人们通常将此类算法分为两类：xxx类称为多面体范数方法，通过计算点的长轨迹来构造极值范数。 这些方法的一个优点是，在有利的情况下，它可以找到联合光谱半径的精确值，并提供这是精确值的证明。

第二类方法使用现代优化技术逼近极值范数，例如椭球范数近似、半定规划、平方和和圆锥规划。 这些方法的优点是它们易于实施，并且在实践中，它们通常提供联合光谱半径的最佳界限。

与联合谱半径的可计算性相关

该参考文献中提供的反例使用了先进的测度论思想。 随后，提供了许多其他反例，包括使用简单组合属性矩阵的基本反例和基于动力系统属性的反例。 最近提出了一个明确的反例。与这个猜想相关的许多问题仍然悬而未决，例如知道它是否适用于二进制矩阵对的问题。

引入联合谱半径是为了将其解释为离散时间切换动态系统的稳定性条件。 实际上，由方程定义的系统

当 Ingrid Daubechies 和 Jeffrey Lagarias 表明联合谱半径决定了某些小波函数的连续性时，联合谱半径开始流行。