极值

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极值

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在数学分析中,函数的xxx值和最小值(xxx值和最小值各自的复数),统称为极值(extremum的复数),是函数的xxx值和最小值,要么在给定范围内(局部 或相对极值),或整个域(全局或xxx极值)。 皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat) 是最早提出一种通用技术“适度”(adequality) 来寻找函数的xxx值和最小值的数学家之一。

按照集合论的定义,集合的xxx值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无界无限集,例如实数集,没有最小值或xxx值。

定义

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如果 f(x∗) ≥ f(x) 对于 X 中的所有 x,则定义域 X 上的实值函数 f 在 x∗ 处具有全局(或xxx)xxx点。类似地,该函数具有全局(或xxx)xxx点 absolute) minimum point at x∗, if f(x∗) ≤ f(x) for all x in X. 函数在xxx值点的值称为函数的xxx值,表示为 max ( f ( x ) ) {\displaystyle \max(f(x))} ,函数在极小点处的值称为函数的最小值。

全局最小点的定义也类似。

如果域 X 是一个度量空间,则称 f 在点 x* 处有一个局部(或相对)xxx值点,如果存在某个 ε > ; 0 使得对于 x* 的距离 ε 内 X 中的所有 x,f(x*) ≥ f(x)。 类似地,函数在 x∗ 处有一个局部最小点,如果对于 x∗ 的距离 ε 内的所有 x,f(x∗) ≤ f(x)。 当 X 是一个拓扑空间时,可以使用类似的定义,因为刚才给出的定义可以用邻域的形式重新表述。 请注意,当且仅当一个点是xxx的全局xxx值点时,它才是严格的全局xxx值点,对于最小值点也是如此。

具有紧域的连续实值函数总是具有xxx值点和最小值点。 一个重要的例子是定义域是实数的闭有界区间的函数。

搜索

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找到全局xxx值和最小值是数学优化的目标。 如果函数在闭区间上连续,则根据极值定理,存在全局xxx值和最小值。 此外,全局xxx值(或最小值)要么必须是域内部的局部xxx值(或最小值),要么必须位于域的边界上。 所以寻找全局xxx值(或最小值)的方法是查看内部所有的局部xxx值(或最小值),同时查看边界上点的xxx值(或最小值),并取xxx的( 或最小的)一个。

对于可微函数,费马定理指出域内部的局部极值必须出现在临界点(或导数为零的点)。 然而,并不是所有的临界点都是极值。

在可微性足够的情况下,可以通过一阶导数检验、二阶导数检验或高阶导数检验来区分临界点是局部xxx值还是局部最小值。

对于分段定义的任何函数,通过分别找到每个部分的xxx值(或最小值),然后查看哪个xxx(或最小)来找到xxx值(或最小值)。

例子

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举一个实际的例子,假设某人有 200 {\displaystyle 200} 英尺的围栏,并试图最大化矩形围栏的面积。

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