极值

在数学分析中，函数的xxx值和最小值（xxx值和最小值各自的复数），统称为极值（extremum的复数），是函数的xxx值和最小值，要么在给定范围内（局部 或相对极值），或整个域（全局或xxx极值）。 皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat) 是最早提出一种通用技术“适度”(adequality) 来寻找函数的xxx值和最小值的数学家之一。

按照集合论的定义，集合的xxx值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无界无限集，例如实数集，没有最小值或xxx值。

如果 f(x∗) ≥ f(x) 对于 X 中的所有 x，则定义域 X 上的实值函数 f 在 x∗ 处具有全局（或xxx）xxx点。类似地，该函数具有全局（或xxx）xxx点 absolute) minimum point at x∗, if f(x∗) ≤ f(x) for all x in X. 函数在xxx值点的值称为函数的xxx值，表示为 max ( f ( x ) ) {\displaystyle \max(f(x))} ，函数在极小点处的值称为函数的最小值。

全局最小点的定义也类似。

如果域 X 是一个度量空间，则称 f 在点 x* 处有一个局部（或相对）xxx值点，如果存在某个 ε > ; 0 使得对于 x* 的距离 ε 内 X 中的所有 x，f(x*) ≥ f(x)。 类似地，函数在 x∗ 处有一个局部最小点，如果对于 x∗ 的距离 ε 内的所有 x，f(x∗) ≤ f(x)。 当 X 是一个拓扑空间时，可以使用类似的定义，因为刚才给出的定义可以用邻域的形式重新表述。 请注意，当且仅当一个点是xxx的全局xxx值点时，它才是严格的全局xxx值点，对于最小值点也是如此。

具有紧域的连续实值函数总是具有xxx值点和最小值点。 一个重要的例子是定义域是实数的闭有界区间的函数。

找到全局xxx值和最小值是数学优化的目标。 如果函数在闭区间上连续，则根据极值定理，存在全局xxx值和最小值。 此外，全局xxx值（或最小值）要么必须是域内部的局部xxx值（或最小值），要么必须位于域的边界上。 所以寻找全局xxx值（或最小值）的方法是查看内部所有的局部xxx值（或最小值），同时查看边界上点的xxx值（或最小值），并取xxx的（ 或最小的）一个。

对于可微函数，费马定理指出域内部的局部极值必须出现在临界点（或导数为零的点）。 然而，并不是所有的临界点都是极值。

在可微性足够的情况下，可以通过一阶导数检验、二阶导数检验或高阶导数检验来区分临界点是局部xxx值还是局部最小值。

对于分段定义的任何函数，通过分别找到每个部分的xxx值（或最小值），然后查看哪个xxx（或最小）来找到xxx值（或最小值）。

举一个实际的例子，假设某人有 200 {\displaystyle 200} 英尺的围栏，并试图最大化矩形围栏的面积。