凸优化

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凸优化是数学优化的一个子领域，研究最小化凸集上的凸函数（或等效地最大化凸集上的凹函数）的问题。 许多类型的凸优化问题都采用多项式时间算法，而数学优化通常是 NP 难的。

凸优化在自动控制系统、估计与信号处理、通信与网络、电子电路设计、数据分析与建模、金融、统计学（最优实验设计）、结构优化等学科中有着广泛的应用，其中 近似概念已被证明是有效的。 随着计算和优化算法的最新进展，凸规划几乎与线性规划一样简单。

凸优化问题是目标函数是凸函数，可行集是凸集的优化问题。

如果存在这样的点，则称为最优点或最优解； 所有最优点的集合称为最优集。 如果 f {\displaystyle f} 在 C {\displaystyle C} 以下是无界的，或者未达到下确界，则称优化问题是无界的。 否则，如果 C {\displaystyle C} 是空集，那么这个问题就是不可行的。

一个凸优化问题是标准形式的

函数 f {\displaystyle f} 是问题的目标函数，函数 g i {\displaystyle g_{i}} 和 h i {\displaystyle h_{i}} 是约束函数。

优化问题的可行集 C {\displaystyle C} 由所有满足约束的点 x ∈ D {\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {D}}} 组成。 这个集合是凸的，因为 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 是凸的，凸函数的子层集是凸的，仿射集是凸的，凸集的交集是凸的。