最优控制

最佳控制理论是数学优化的一个分支，它处理在一段时间内寻找动态系统的控制，从而优化目标函数。 它在科学、工程和运筹学中有许多应用。 例如，动力系统可能是一个航天器，其控制装置与火箭推进器相对应，目标可能是以最少的燃料消耗到达月球。 或者动力系统可以是一个国家的经济，其目标是将失业率降至最低； 在这种情况下，控制措施可以是财政和货币政策。 还可以引入动力系统以将运筹学问题嵌入最优控制理论的框架内。

最优化控制是变分法的扩展，是一种推导控制策略的数学优化方法。 在 Edward J. McShane 对变分法做出贡献之后，该方法主要归功于 Lev Pontryagin 和 Richard Bellman 在 1950 年代的工作。 最佳控制可以看作是控制理论中的一种控制策略。

最佳控制处理为给定系统找到控制律的问题，以便实现特定的最优性标准。 控制问题包括成本函数，它是状态和控制变量的函数。 最优控制是一组微分方程，描述了使成本函数最小化的控制变量的路径。 可以使用 Pontryagin 的xxx原理（必要条件也称为 Pontryagin 的最小原理或简称为 Pontryagin 的原理）或通过求解 Hamilton-Jacobi-Bellman 方程（充分条件）推导出最优控制 .

我们从一个简单的例子开始。 考虑一辆在山路上直线行驶的汽车。 问题是，驾驶员应该如何踩油门踏板才能使总行驶时间最小化？ 在此示例中，术语控制规律特指驾驶员踩下加速器和换档的方式。 该系统由汽车和道路组成，最优性准则是总行驶时间的最小化。 控制问题通常包括辅助约束。 例如，可用燃料量可能受到限制，加速踏板不能穿过汽车地板，速度限制等。

适当的成本函数将是一个数学表达式，将行进时间作为速度、几何考虑因素和系统初始条件的函数。 约束通常可以与成本函数互换。

另一个相关的最优控制问题可能是找到驾驶汽车的方式以最小化其燃料消耗，假设它必须在不超过一定数量的时间内完成给定的课程。 另一个相关的控制问题可能是在给定时间和燃料的假定货币价格的情况下，最小化完成行程的总货币成本。

E {\displaystyle E} 和 F {\displaystyle F} 分别称为端点成本和运行成本。 在变分法中，E {\displaystyle E} 和 F {\displaystyle F} 分别被称为迈耶项和拉格朗日项。 此外，注意到路径约束是一般不等式约束，因此在最优解处可能不活跃（即等于零）。 还要注意的是，上述最优控制问题可能有多个解（即解可能不是xxx的）。