不可压缩流

在流体力学或更一般的连续介质力学中，不可压缩流（等容流）是指一种流体，其中材料密度在一个流体块内是恒定的——一个随流速移动的无穷小体积。 暗示不可压缩性的等价陈述是流速的散度为零（参见下面的推导，它说明了为什么这些条件是等价的）。

不可压缩流并不意味着流体本身是不可压缩的。 在下面的推导中表明（在适当的条件下）即使是可压缩流体也可以——在一个很好的近似下——被建模为不可压缩的流动。 不可压缩流动意味着密度在随流速移动的流体块内保持恒定。

不可压缩流的基本要求是密度 ρ {\displaystyle \rho } 在一个小的单元体积 dV 内是恒定的，它以流速 u 移动。 从数学上讲，此约束意味着密度的材料导数（下面讨论）必须消失以确保不可压缩流动。 在引入此约束之前，我们必须应用质量守恒来生成必要的关系。 质量由密度的体积积分计算， ρ {\displaystyle \rho } ：

m = ∭ V ρ d V 。 {\displaystyle {m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}。}

质量守恒要求控制体积内质量的时间导数等于跨越其边界的质量通量 J。 在数学上，我们可以用曲面积分表示此约束：

∂ m ∂ t = − {\displaystyle {\partial m \over \partial t}=-} S {\displaystyle S} J ⋅ d S {\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

上面表达式中的负号确保向外流动导致质量相对于时间的减少，使用表面积矢量指向外的约定。 现在，使用散度定理，我们可以推导出通量与密度的偏时间导数之间的关系

密度相对于时间的偏导数不需要消失以确保不可压缩流。 当我们谈到密度相对于时间的偏导数时，我们指的是固定位置的控制体积内的这种变化率。 通过让密度的偏时间导数不为零，我们不会将自己局限于不可压缩的流体，因为当流体流过控制体积时，从固定位置观察到的密度会发生变化。 这种方法保持了一般性，并且不需要密度的偏时间导数为零说明可压缩流体仍然可以经历不可压缩流动。 我们感兴趣的是随流速 u 移动的控制体积的密度变化。

先前的关系（我们使用了适当的产品规则）被称为连续性方程。 现在，我们需要以下关于密度的全导数的关系（我们应用链式法则）

因此，如果我们选择以与流体相同的速率移动的控制体积（即 (dx/dt, dy/dt, dz/dt) = u），则此表达式可简化为材料导数：

D ρ D t = ∂ ρ ∂ t + ∇ ρ ⋅ u 。 {\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.}

因此，使用上面导出的连续性方程，我们看到：

D ρ D t = − ρ ( ∇ ⋅ u ) 。 {\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}。}

密度随时间的变化意味着流体已经压缩或膨胀（或者我们的恒定体积 dV 中包含的质量)