流体静力平衡

在流体力学中，流体静力平衡（hydrostatic balance, hydrostasy）是流体或塑性固体处于静止状态的状态，当外力（例如重力）被压力梯度力平衡时就会发生这种情况。 在地球的行星物理学中，压力梯度力阻止重力将行星大气坍缩成薄而致密的壳，而重力阻止压力梯度力将大气扩散到外层空间。

流体静力平衡是区分矮行星和太阳系小天体的标准，是天体物理学和行星地质学的特征。 所述平衡条件表明物体的形状是对称的椭圆体，其中任何不规则的表面特征都是相对较薄的固体外壳的结果。 除了太阳，太阳系中还确认存在十几个平衡天体。

对于地球上的静水流体：

d P = − ρ ( P ) ⋅ g ( h ) ⋅ d h {\displaystyle dP=-\rho (P)\cdot g(h)\cdot dh}

牛顿运动定律指出，不运动或处于恒定速度状态的一定体积的流体在其上的净力必须为零。 这意味着给定方向上的力之和必须与相反方向上相等的力之和相反。 这种力平衡称为流体静力平衡。

流体可以分裂成大量的长方体体积元素； 通过考虑单个元素，可以推导出流体的作用。

存在三种力：根据压力的定义，从长方体上方流体的压力 P 向下作用到长方体顶部的力，

F top = − P top ⋅ A {\displaystyle F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}\cdot A}

类似地，下方流体的压力向上推动体积元上的力为

F bottom = P bottom ⋅ A {\displaystyle F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}\cdot A}

最后，体积元素的重量会产生向下的力。 如果密度为 ρ，体积为 V，g 为标准重力，则：

F 权重 = − ρ ⋅ g ⋅ V {\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho \cdot g\cdot V}

这个长方体的体积等于顶部或底部的面积乘以高度——计算立方体体积的公式。

Ptop − Pbottom 是压力的变化，h 是体积元素的高度——离地距离的变化。 通过说这些变化无限小，方程可以写成微分形式。

d P = − ρ ⋅ g ⋅ d h {\displaystyle dP=-\rho \cdot g\cdot dh}

密度随压力变化，重力随高度变化，所以方程为：

d P = − ρ ( P ) ⋅ g ( h ) ⋅ d h {\displaystyle dP=-\rho (P)\cdot g(h)\cdot dh}

最后请注意，最后一个方程可以通过求解平衡情况下的三维 Navier-Stokes 方程导出，其中

u = v = ∂ p ∂ x = ∂ p ∂ y = 0 {\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p }{\部分y}}=0}

那么xxx不平凡的方程是 z {\displaystyle z} -方程，现在是

∂ p ∂ z + ρ g = 0 {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}

因此，静水平衡可以看作是 Navier-Stokes 方程的一个特别简单的平衡解。

通过代入完美流体的能量动量张量

进入爱因斯坦场方程

并使用保护条件

∇ μ T μ ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }T{\mu \nu }=0}

人们可以推导出各向同性坐标系中静态球对称相对论恒星结构的托尔曼-奥本海默-沃尔科夫方程