有限元法

有限元法 (FEM) 是一种流行的数值求解工程和数学建模中出现的微分方程的方法。 感兴趣的典型问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量传递和电磁势等传统领域。

有限元法是求解两个或三个空间变量的偏微分方程（即某些边值问题）的通用数值方法。 为了解决问题，FEM 将大型系统细分为更小、更简单的部分，这些部分称为有限元。 这是通过空间维度中的特定空间离散化实现的，这是通过构建对象的网格来实现的：解的数值域，它具有有限数量的点。 边界值问题的有限元方法公式化最终导致代数方程组。 该方法在域上逼近未知函数。然后将对这些有限元建模的简单方程组组合成一个更大的方程组，对整个问题进行建模。 然后，FEM 通过变分法最小化相关的误差函数来近似解。

使用 FEM 研究或分析现象通常称为有限元分析 (FEA)。

将整个域细分为更简单的部分有几个优点：

• 复杂几何的准确表示
• 包含不同的材料特性
• 整体解决方案的简单表示
• 捕捉局部效果。

该方法的典型工作包括：

将问题的域划分为子域的集合，每个子域由原始问题的一组元素方程表示

• 系统地将所有元素方程组重新组合成一个全局方程组以进行最终计算。

全局方程组具有已知的求解技术，并且可以从原始问题的初始值计算以获得数值答案。

在上面的xxx步中，元素方程是局部逼近待研究的原始复杂方程的简单方程，其中原始方程通常是偏微分方程（PDE）。 为了解释这个过程中的逼近，通常将有限元法作为伽辽金法的特例引入。 用数学语言来说，这个过程就是构造残差和权重函数的内积的积分，并将积分设置为零。 简单来说，它是一种通过将试验函数拟合到 PDE 中来最小化近似误差的过程。 残差是由试验函数引起的误差，权重函数是投影残差的多项式逼近函数。