微分包含式

在数学中，微分包含是以下形式的常微分方程概念的推广

d x d t ( t ) ∈ F ( t , x ( t ) ) , {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)\in F(t,x(t)),}

其中 F 是一个多值映射，即 F(t, x) 是一个集合而不是 R d {\displaystyle \mathbb {R} {d}} 中的一个点。 微分包含式出现在许多情况下，包括微分变分不等式、投影动力系统、莫罗扫掠过程、线性和非线性互补动力系统、不连续常微分方程、切换动力系统和模糊集算法。

例如，库仑摩擦的基本规则是摩擦力在与滑移方向相反的方向上的大小为 μN，其中 N 是法向力，μ 是常数（摩擦系数）。 但是，如果滑移为零，则摩擦力可以是正确平面中大小小于或等于 μN 的任何力。 因此，将摩擦力写成位置和速度的函数会得到一个集值函数。

在微分包含中，我们不仅在右手边取一个集值映射，而且我们还可以取欧几里德空间的子集 R N

存在理论通常假设 F(t, x) 是 x 的上半连续函数，可在 t 中测量，并且 F(t, x) 是所有 t 和 x 的闭凸集。

具有非凸 F(t, x) 的微分夹杂物的存在理论是一个活跃的研究领域。

解决方案的xxx性通常需要其他条件。 例如，假设 F ( t , x ) {\displaystyle F(t,x)} 满足单边利普希茨条件

有xxx解。

这与 Minty 和 Haïm Brezis 提出的xxx单调算子理论密切相关。

Filippov 的理论只允许导数 d x d t ( t ) {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(t)} 不连续，但不允许状态不连续，即 x ( t ) { \displaystyle x(t)} 需要连续。 Schatzman 和后来的 Moreau（谁给了它目前被接受的名字）扩展了测量差异包含（MDI）的概念，其中通过对 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 取上面的限制来评估包含。

微分方程可用于理解和适当解释不连续的常微分方程，例如机械系统中的库仑摩擦和电力电子中的理想开关。 A. F. Filippov 做出了重要贡献，他研究了不连续方程的正则化。 此外，N.N. 使用正则化技术。 微分博弈论中的 Krasovskii。

在非光滑动力系统 (NSDS) 分析的基础上也发现了微分包式，它用于使用理想化元件方程的开关电路的模拟研究（例如，使用理想化的直线垂直线用于急剧指数正向 和二极管特性的击穿传导区域）以及某些非光滑机械系统的研究，例如具有干摩擦或冲击现象动力学的系统中的粘滑振荡。 解决 NSDS 系统的软件是存在的，例如 INRIA 的 Siconos。

在连续函数中，当模糊概念用于微分包含时，出现了一个新概念，即模糊微分包含，它在大气扩散建模和医学成像控制论中都有应用。