双摆

在物理学和数学中，在动力系统领域，双摆也称为混沌摆，是一个摆的末端附有另一个摆，形成一个简单的物理系统，该系统表现出丰富的动态行为，对初始条件具有很强的敏感性。 双摆的运动由一组耦合的常微分方程控制并且是混沌的。

可以考虑双摆的几种变体； 两个肢体的长度和质量可以相等或不等，它们可以是单摆或复摆（也称为复摆），运动可以在三个维度上或仅限于垂直平面。 在下面的分析中，肢体被视为长度为 l 质量为 m 的相同复摆，并且运动被限制在二维范围内。

在复摆中，质量沿其长度分布。 如果质量均匀分布，则每个肢体的质心都在其中点，并且肢体关于该点的惯性矩为 I = 1/12ml2。

使用每个肢体与垂直线之间的角度作为定义系统配置的广义坐标是很方便的。 这些角度表示为 θ1 和 θ2。 每根杆的质心位置可以用这两个坐标来表示。 如果笛卡尔坐标系的原点取在xxx个摆的悬点，那么这个摆的质心在：

x 1 = l 2 sin ⁡ θ 1 y 1 = − l 2 cos ⁡ θ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\ sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{对齐}}}

第二个摆的质心在

x 2 = l ( sin ⁡ θ 1 + 1 2 sin ⁡ θ 2 ) y 2 = − l ( cos ⁡ θ 1 + 1 2 cos ⁡ θ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{2} &=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{ 2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end {对齐}}}

这些信息足以写出拉格朗日量。

拉格朗日量是

L = 动能 − 势能 = 1 2 m ( v 1 2 + v 2 2 ) + 1 2 I ( θ ˙ 1 2 + θ ˙ 2 2 ) − m g ( y 1 + y 2 ) = 1 2 m ( x ˙ 1 2 + y ˙ 1 2 + x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 ) + 1 2 I ( θ ˙ 1 2 + θ ˙ 2 2 ) − m g ( y 1 + y 2 )

xxx项是物体质心的线性动能，第二项是每根杆的质心周围的旋转动能。 最后一项是物体在均匀引力场中的势能。 点符号表示所讨论变量的时间导数。