伦敦方程

伦敦方程由弗里茨伦敦 ( Fritz London ) 和海因茨·伦敦 ( Heinz London ) 兄弟于 1935 年开发，是超导体的本构关系，将其超导电流与其内部和周围的电磁场相关联。

鉴于欧姆定律是普通导体最简单的本构关系，伦敦方程是对超导现象最简单有意义的描述，并且构成了几乎所有关于该主题的现代介绍性文本的起源。这些方程式的一个主要胜利是它们能够解释迈斯纳效应，其中一种材料在超过超导阈值时以指数方式排出所有内部磁场。

以可测域表示时

这里 j s {displaystyle {mathbf {j} }_{s}} 是（超导）电流密度，E 和 B 分别是超导体内的电场和磁场，e {displaystyle e, } 是电子或质子的电荷，m {displaystyle m,} 是电子质量，而 n s {displaystyle n_{s},} 是与超导数密度松散相关的唯象常数 运营商。

这两个方程可以根据特定矢量势 A s {displaystyle mathbf {A} _{s}} 组合成一个伦敦方程，该方程已固定在伦敦规范中，给出：

j s = − n se 2 m A s 。 {displaystyle mathbf {j} _{s}=-{frac {n_{s}e{2}}{m}}mathbf {A} _{s}。}

在伦敦规范中，矢量势遵循以下要求，确保它可以解释为电流密度：

• ∇ ⋅ A s = 0 , {displaystyle nabla cdot mathbf {A} _{s}=0,}
• A s = 0 {displaystyle mathbf {A} _{s}=0} 在超导体中，
• A s ⋅ n ^ = 0 , {displaystyle mathbf {A} _{s}cdot {hat {mathbf {n} }}=0,} 其中 n ^ { displaystyle {hat {mathbf {n} }}} 是超导体表面的法向量。

第 一个要求，也称为库仑规范条件，导致恒定的超导电子密度 ρ ˙ s = 0 {displaystyle {dot {rho }}_{s}=0} 正如连续性方程所预期的那样。

第二个要求与超电流在表面附近流动的事实一致。第三个要求确保表面上没有超导电子的积累。

这些要求消除了所有规范自由度并唯 一地确定了矢量势。也可以通过简单地定义 A s = ( A + ∇ ϕ ) {displaystyle mathbf {A} _{s ，以任意规范 A {displaystyle mathbf {A} } }=(mathbf {A} +nabla phi )} ，其中 ϕ {displaystyle phi } 是标量函数，而 ∇ ϕ {displaystyle nabla phi } 是变化在将任意规范转换为伦敦规范的规范中。矢量势表达式适用于在空间中缓慢变化的磁场。

如果通过应用安培定律来操纵伦敦的第二个方程式，

∇ × B = μ 0 j {displaystyle nabla times mathbf {B} =mu _{0}mathbf {j} } ,

则可化为磁场的亥姆霍兹方程：

∇ 2 B = 1 λ s 2 B {displaystyle nabla {2}mathbf {B} ={frac {1}{lambda _{s}{2}}}mathbf { 乙}}

其中拉普拉斯特征值的倒数：

λ s ≡ m μ 0 n s e 2 {displaystyle lambda _{s}equiv {sqrt {frac {m}{mu _{0}n_{s}e{2}} }}}

是特征长度标度， λ s {displaystyle lambda _{s}} ，外部磁场在其上呈指数抑制：称为伦敦穿透深度：典型值为 50 至 500 nm。

例如，考虑自由空间内的超导体，其中超导体外部的磁场是一个恒定值，指向平行于 z 方向的超导边界平面。 如果 x 垂直于边界，那么超导体内部的解可以表示为

B z ( x ) = B 0 e − x / λ s 。 {displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e{-x/lambda _{s}}.,}

从这里可以最容易地看出伦敦穿透深度的物理意义。

值得注意的是，上述方程式无法正式推导出来，但伦敦人在其理论的表述中确实遵循了某种直觉逻辑。成分范围极其广泛的物质的行为大致符合欧姆定律，该定律指出电流与电场成正比。然而，这种线性关系在超导体中是不可能的，因为几乎根据定义，超导体中的电子在没有任何阻力的情况下流动。