哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程

在广义相对论中，哈密顿-雅可比-爱因斯坦方程 (HJEE) 或爱因斯坦-哈密尔顿-雅可比方程 (EHJE) 是超空间几何动力学的哈密顿公式中的一个方程，它试图以一种类似于半经典近似中的量子理论的方式重新表述广义相对论，很像量子力学和经典力学之间的对应关系。

EHJE 包含与所有十个爱因斯坦场方程 (EFE) 一样多的信息。 它是对经典力学中的哈密顿-雅可比方程 (HJE) 的修改，可以使用 ADM 形式主义中的最小作用原理从爱因斯坦-希尔伯特作用推导出来。

在经典分析力学中，系统的动力学由作用 S 来概括。在量子理论中，即非相对论量子力学 (QM)、相对论量子力学 (RQM) 以及量子场论 (QFT)，具有不同的 根据这些理论中的解释和数学形式，系统的行为完全包含在复值概率振幅 ψ 中（更正式地称为量子态 ket |ψ⟩ - 希尔伯特空间的一个元素）。

ψ 的相位解释为作用，模数√ρ = √ψ*ψ = |ψ| 根据哥本哈根解释被解释为概率密度函数。 约化的普朗克常数 ħ 是角动量的量子。

另一方面，量子理论和广义相对论（GR）之间的转换很难实现； 原因之一是这些理论对空间和时间的处理。 在非相对论 QM 中，空间和时间不处于平等地位； 时间是一个参数，而位置是一个运算符。 在 RQM 和 QFT 中，位置与时间坐标一起返回到通常的空间坐标，尽管这些理论仅与四维平面 Minkowski 空间中的 SR 一致，而不是弯曲空间或 GR。

在弯曲时空中建立量子场论是可能的，但即使这样仍然不能包含 GR，因为引力在 QFT 中不可重整化。 此外，在 GR 中，粒子在弯曲的时空中移动，每个时刻都具有确定性已知的位置和动量，而在量子理论中，粒子的位置和动量不能同时准确知道； 空间 x 和动量 p，以及能量 E 和时间 t，成对地服从不确定性原理

这意味着空间和时间的小间隔意味着能量和动量的大波动是可能的。 由于在 GR 中质量能量和动量能量是时空曲率的来源，能量和动量的大波动意味着时空结构可能变得如此扭曲以至于它在足够小的尺度上破裂。