哈密顿系统

哈密顿系统是由哈密顿方程控制的动力系统。 在物理学中，这个动力系统描述了物理系统的演化，例如行星系统或电磁场中的电子。 这些系统可以在哈密顿力学和动力系统理论中进行研究。

非正式地，哈密顿系统是由汉密尔顿开发的一种数学形式体系，用于描述物理系统的演化方程。 这种描述的优点是它提供了对动力学的重要见解，即使初始值问题无法解析解决。 一个例子是三体的行星运动：虽然一般问题没有封闭形式的解决方案，但庞加莱首次表明它表现出确定性混沌。

形式上，哈密顿系统是以标量函数 H ( q , p , t ) {displaystyle H({boldsymbol {q}},{boldsymbol {p}},t)} ，也称为哈密顿量。 系统状态 r {displaystyle {boldsymbol {r}}} 由广义坐标 p {displaystyle {boldsymbol {p}}} 和 q {displaystyle { boldsymbol {q}}} ，分别对应广义动量和位置。 p {displaystyle {boldsymbol {p}}} 和 q {displaystyle {boldsymbol {q}}} 都是具有相同维度 N 的实值向量。因此，状态完全由 2N维向量

r = ( q , p ) {displaystyle {boldsymbol {r}}=({boldsymbol {q}},{boldsymbol {p}})}

如果哈密顿量不是显式时间相关的，即如果 H ( q , p , t ) = H ( q , p ) {displaystyle H({boldsymbol {q}},{boldsymbol {p}} ,t)=H({boldsymbol {q}},{boldsymbol {p}})} ，那么哈密顿量根本不随时间变化：

因此哈密顿量是一个运动常数，其常数等于系统的总能量：H = E {displaystyle H=E} 。 这种系统的例子有无阻尼摆、谐振子和动力台球。

与时间无关的哈密顿系统的一个例子是谐振子。 考虑由坐标 p = m x ˙ {displaystyle {boldsymbol {p}}=m{dot {x}}} 和 q = x {displaystyle {boldsymbol {q}} =x}。 然后哈密顿量由下式给出

H = p 2 2 米 + k q 2 2 。 {displaystyle H={frac {p{2}}{2m}}+{frac {kq{2}}{2}}。}

该系统的哈密顿量不依赖于时间，因此系统的能量守恒。

哈密顿动力系统的一个重要特性是它具有辛结构。

IN是N×N单位矩阵。

这一特性的一个重要结果是保留了无穷小的相空间体积。 其推论是 Liouville 定理，该定理指出在哈密顿系统上，封闭曲面的相空间体积在时间演化过程中保持不变。