刘维尔定理 (哈密顿力学)

在物理学中，以法国数学家约瑟夫·刘维尔命名的刘维尔定理是经典统计和哈密顿力学中的一个关键定理。 它断言相空间分布函数沿着系统的轨迹是恒定的——也就是说，在穿过相空间的给定系统点附近的系统点的密度随时间是恒定的。 这种与时间无关的密度在统计力学中被称为经典先验概率。

在辛拓扑和遍历理论中有相关的数学成果； 遵守刘维尔定理的系统是不可压缩动力系统的例子。

刘维尔定理可以扩展到随机系统。

Liouville 方程描述了相空间分布函数的时间演化。 尽管该方程通常被称为刘维尔方程，但乔赛亚·威拉德·吉布斯 (Josiah Willard Gibbs) 是xxx个认识到该方程作为统计力学基本方程的重要性的人。 它被称为 Liouville 方程，因为它对非规范系统的推导使用了 Liouville 于 1838 年首先推导的恒等式。考虑一个具有规范坐标 q i {displaystyle q_{i}} 和共轭动量 p i { displaystyle p_{i}} ，其中 i = 1 , … , n {displaystyle i=1,dots ,n} 。 然后相空间分布 ρ ( p , q ) {displaystyle rho (p,q)} 决定概率 ρ ( p , q ) d n q d n p {displaystyle rho (p,q); mathrm {d} {n}q,mathrm {d} {n}p} 系统将在无穷小相空间体积 d n q d n p {displaystyle mathrm {d} {n}q ,mathrm {d} {n}p} 。 刘维尔方程支配着 ρ ( p , q ; t ) {displaystyle rho (p,q;t)} 在时间 t {displaystyle t} 中的演化

时间导数用点表示，并根据系统的哈密顿方程计算。 这个方程证明了相空间中的密度守恒（这是吉布斯定理的名字）。 刘维尔定理指出

分布函数沿着相空间中的任何轨迹都是恒定的。

刘维尔定理的证明使用了 n 维散度定理。

也就是说，三元组 ( ρ , ρ q ˙ i , ρ p ˙ i ) {displaystyle (rho ,rho {dot {q}}_{i},rho { dot {p}}_{i})} 是守恒电流。

其中 H {displaystyle H} 是哈密顿量，并且使用了哈密顿方程以及哈密顿量沿流的守恒。 也就是说，将通过相空间的运动视为系统点的“流体流动”，密度的对流导数 d ρ / d t {displaystyle drho /dt} 为零的定理如下 从连续性方程中注意到相空间中的'速度场' ( p ˙ , q ˙ ) {displaystyle ({dot {p}},{dot {q}})} 有 零散度（从汉密尔顿的关系得出）。

另一个例子是考虑点云在相空间中的轨迹。 很容易证明，当云在一个坐标系中拉伸时——p i {displaystyle p_{i}} 说——它在相应的 q i {displaystyle q{i}} 方向收缩，因此乘积 Δ p i Δ q i {displaystyle Delta p_{i},Delta q{i}} 保持不变。

上面的定理经常用泊松括号重述为

就线性 Liouville 算子或 Liouvillian 而言。