动量映射

在数学中，特别是在辛几何中，动量图（或者，根据错误的词源，矩图）是一种与李群在辛流形上的哈密顿作用相关的工具，用于构造作用的守恒量。 动量图概括了线性动量和角动量的经典概念。 它是各种构造辛流形的重要组成部分，包括辛 (Marsden–Weinstein) 商，如下所述，以及辛割和辛求和。

令 M 为具有辛形式 ω 的流形。 假设李群 G 通过辛同胚作用于 M（即，G 中每个 g 的作用保持 ω）。 令 g {displaystyle {mathfrak {g}}} 是 G 的李代数， g ∗ {displaystyle {mathfrak {g}}{*}} 它的对偶，并且

⟨ , ⟩ : g ∗ × g → R {displaystyle langle ,rangle :{mathfrak {g}}{*}times {mathfrak {g}}to mathbf {R} }

两者之间的配对。 g {displaystyle {mathfrak {g}}} 中的任何 ξ 都会在 M 上产生一个矢量场 ρ(ξ) 来描述 ξ 的无穷小作用。 准确地说，在 M 中的点 x 处，向量 ρ ( ξ ) x {displaystyle rho (xi )_{x}} 是

d d t | t = 0 exp ⁡ ( t ξ ) ⋅ x , {displaystyle left.{frac {d}{dt}}right|_{t=0}exp(txi ) cdot x,}

其中 exp : g → G {displaystyle exp :{mathfrak {g}}to G} 是指数映射，而 ⋅ {displaystyle cdot } 表示 M 上的 G 作用。设 ι ρ ( ξ ) ω {displaystyle iota _{rho (xi )}omega ,} 表示这个矢量场与 ω 的收缩。 因为 G 通过辛同胚作用，所以 ι ρ ( ξ ) ω {displaystyle iota _{rho (xi )}omega ,} 是闭集（对于 g { displaystyle {mathfrak {g}}} ）。

假设 ι ρ ( ξ ) ω {displaystyle iota _{rho (xi )}omega ,} 不仅是封闭的而且是精确的，因此 ι ρ ( ξ ) ω = d H ξ {displaystyle iota _{rho (xi )}omega =dH_{xi }} 对于某些函数 H ξ {displaystyle H_{xi }} 。 还假设映射 g → C ∞ ( M ) {displaystyle {mathfrak {g}}到 C{infty }(M)} 发送 ξ ↦ H ξ {displaystyle xi mapsto H_{xi }} 是一个李代数同态。 那么 (M, ω) 上 G 动作的动量图是一个映射 μ : M → g ∗ {displaystyle mu :Mto {mathfrak {g}}{*}} 这样

d ( ⟨ μ , ξ ⟩ ) = ι ρ ( ξ ) ω {displaystyle d(langle mu ,xi rangle )=iota _{rho (xi )} 欧米茄}

对于 g {displaystyle {mathfrak {g}}} 中的所有 ξ。 这里 ⟨ μ , ξ ⟩ {displaystyle langle mu ,xi rangle } 是从 M 到 R 的函数，由 ⟨ μ , ξ ⟩ ( x ) = ⟨ μ ( x ) , ξ ⟩ {displaystyle langle mu ,xi rangle (x)=langle mu (x),xi rangle } 。 动量图被xxx地定义为积分的附加常数。

通常还要求动量图是 G 等变的，其中 G 通过余伴随作用作用于 g ∗ {displaystyle {mathfrak {g}}{*}}。 如果群是紧群或半单群，那么总是可以选择积分常数来使动量图余伴等变。 然而，通常必须修改共伴作用以使映射等变（例如欧几里德群就是这种情况）。 正如 Souriau (1970) 首次描述的那样，修改是通过在 g ∗ {displaystyle {mathfrak {g}}{*}} 中的值的群上的 1-余循环进行的。

动量图的定义要求 ι ρ ( ξ ) ω {displaystyle iota _{rho (xi )}omega } 是封闭的。 在实践中，做出更强有力的假设是有用的。 当且仅当满足以下条件时，G 作用才被称为哈密顿量。 首先，对于 g {displaystyle {mathfrak {g}}} 中的每个 ξ，单形式 ι ρ ( ξ ) ω {displaystyle iota _{rho (xi )} omega } 是精确的，意味着它等于 d H ξ {displaystyle dH_{xi }} 对于一些平滑函数

H ξ : M → R 。 {displaystyle H_{xi }:Mto mathbf {R} .}

如果这成立，那么可以选择 H ξ {displaystyle H_{xi }} 使映射 ξ ↦ H ξ {displaystyle xi mapsto H_{xi }} 线性化。 G 作用是哈密顿量的第二个要求是映射 ξ ↦ H ξ {displaystyle xi mapsto H_{xi }} 是来自 g {displaystyle { mathfrak {g}}} 到 M 上泊松括号下的光滑函数的代数。

如果 G 对 (M, ω) 的作用在这个意义上是哈密顿量，那么动量图就是一个映射 μ : M → g ∗ {displaystyle mu :Mto {mathfrak {g}} {*}} 这样写 H ξ = ⟨ μ , ξ ⟩ {displaystyle H_{xi }=langle mu ,xi rangle } 定义李代数同态 ξ ↦ H ξ { displaystyle xi mapsto H_{xi }} 满足 ρ ( ξ ) = X H ξ {displaystyle rho (xi )=X_{H_{xi }}} 。 这里 X H ξ {displaystyle X_{H_{xi }}} 是哈密顿量 H ξ {displaystyle H_{xi }} 的矢量场，定义为

ι X H ξ ω = d H ξ 。 {displaystyle iota _{X_{H_{xi }}}omega =dH_{xi }.}