尤拉临界负载

尤拉临界载荷是细长柱突然弯曲或弯曲的压缩载荷。

在哪里

• P c r {displaystyle P_{cr}} , 尤拉临界载荷（柱上的纵向压缩载荷），
• E {displaystyle E} ，柱材料的杨氏模量，
• I {displaystyle I} ，柱横截面的最小面积惯性矩（面积二阶矩），
• L {displaystyle L} ，不支持的列长度，
• K {displaystyle K} , 列有效长度因子

这个公式是由瑞士数学家莱昂哈德欧拉于1757年推导出来的。 对于小于临界载荷的载荷，柱子将保持笔直。 临界载荷是不会引起横向变形（屈曲）的xxx载荷。 对于大于临界载荷的载荷，柱将横向偏斜。 临界载荷使柱处于不稳定的平衡状态。 超过临界载荷的载荷会导致柱因屈曲而失效。 当载荷增加到超过临界载荷时，横向变形会增加，直到它可能以其他模式失效，例如材料屈服。 本文未讨论超过临界载荷的色谱柱载荷。

1900 年左右，J. B. Johnson 表明，在长细比较低的情况下，应使用替代公式。

推导欧拉公式时作了如下假设：

• 色谱柱的材料均质且各向同性。
• 柱上的压缩载荷仅为轴向。
• 色谱柱没有初始应力。
• 忽略列的重量。
• 柱子最初是直的（轴向载荷没有偏心）。
• 销接头无摩擦（无力矩约束），固定端刚性好（无旋转偏转）。
• 柱的横截面在其整个长度上是均匀的。
• 与弯曲应力相比，直接应力非常小（材料仅在弹性应变范围内被压缩）。
• 与柱的横截面尺寸相比，柱的长度非常大。
• 该柱仅因屈曲而失效。

对于细长柱，临界屈曲应力通常低于屈服应力。 相比之下，粗壮的柱子可能具有高于屈服的临界屈曲应力，即它在屈曲之前屈服。

以下模型适用于两端简单支撑的列 ( K = 1 {displaystyle K=1} )。

首先，我们要注意铰接端没有反作用力，因此柱的任何横截面也没有剪力。 没有反应的原因可以从对称性（所以反应应该是同向的）和力矩平衡（所以反应应该是相反的方向）得到。

使用图 3 右侧的自由体图，对 x 点的力矩求和： Σ M = 0 ⇒ M ( x ) + P w = 0 {displaystyle Sigma M=0Rightarrow M(x)+Pw=0} 其中 w 是横向偏转。

我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。

• 左端固定：w ( 0 ) = 0 → A = 0 {displaystyle w(0)=0rightarrow A=0}
• 右端固定：w ( ℓ ) = 0 → B sin ⁡ ( λ ℓ ) = 0 {displaystyle w(ell )=0rightarrow Bsin(lambda ell ) =0}

如果 B = 0 {displaystyle B=0} ，则没有弯矩 e。