克劳修斯－克拉佩龙方程

以鲁道夫·克劳修斯和伯努瓦·保罗·埃米尔·克拉佩龙的名字命名的克劳修斯－克拉佩龙方程序指定了压力的温度依赖性，最重要的是蒸气压，在单一成分的两相物质之间的不连续相变中。 它与气象学和气候学的相关性是，温度每升高 1°C（1.8°F），大气的持水能力就会增加约 7%。

在压力-温度 (P-T) 图上，分隔两相的线称为共存曲线。 Clapeyron 关系给出了该曲线的切线斜率。

其中 d P / d T {displaystyle mathrm {d} P/mathrm {d} T} 是共存曲线在任一点的切线斜率，L {displaystyle L} 是具体的 潜热，T {displaystyle T} 是温度，Δ v {displaystyle Delta v} 是相变的比体积变化，Δ s {displaystyle Delta s} 是比 相变的熵变。 克劳修斯-克拉佩龙方程

d P d T = P L T 2 R {displaystyle {frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} T}}={frac {PL}{T{2}R} }}

对于中等温度和压力，以潜热的形式以更方便的形式表达这一点。

使用状态假设，取均质物质的比熵 s {displaystyle s} 为比容 v {displaystyle v} 和温度 T {displaystyle T} 的函数。

克劳修斯－克拉佩龙方程描述了封闭系统在恒定温度和压力下的相变过程中的行为。

其中 P {displaystyle P} 是压力。 由于压力和温度是恒定的，压力对温度的导数不会改变。 因此，比熵的偏导数可以变为全导数

d s = d P d T d v {displaystyle mathrm {d} s={frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} T}},mathrm {d } v}

当从初始相位 α {displaystyle alpha } 积分到最终相位 β {displaystyle beta } 时，可以分解出压力对温度的全导数，以获得

d P d T = Δ s Δ v {displaystyle {frac {mathrm {d} P}{mathrm {d} T}}={frac {Delta s}{ 增量 v}}}

其中 Δ s ≡ s β − s α {displaystyle Delta sequiv s_{beta }-s_{alpha }} 和 Δ v ≡ v β − v α {displaystyle Delta vequiv v_{beta }-v_{alpha }}分别是比熵和比容的变化。 鉴于相变是一个内部可逆过程，并且我们的系统是封闭的，热力学xxx定律成立

d u = δ q + δ w = T d s − P d v {displaystyle mathrm {d} u=delta q+delta w=T;mathrm {d} s-P; 数学 {d} v}

其中 u {displaystyle u} 是系统的内能。 给定恒定压力和温度（在相变期间）和比焓 h {displaystyle h} 的定义

给定恒定的压力和温度（在相变期间），我们得到

Δ s = Δ h T {displaystyle Delta s={frac {Delta h}{T}}}

代入比潜热的定义 L = Δ h {displaystyle L=Delta h} 得到

Δ s = L T {displaystyle Delta s={frac {L}{T}}}

将此结果代入上面给出的压力导数 ( d P / d T = Δ s / Δ v {displaystyle mathrm {d} P/mathrm {d} T=Delta s/Delta v } ）

这个结果（也称为 Clapeyron 方程）等于共存曲线 P ( T ) {displaystyle P(T)} 到比潜热 L {displaystyle L} 的函数 L / ( T Δ v ) {displaystyle L/(T,Delta v)} ，温度 T { displaystyle T} 和比容变化 Δ v {displaystyle Delta v} 。