庞加莱复现定理

在数学和物理学中，庞加莱复定理指出某些动力系统将在足够长但有限的时间后返回到任意接近（对于连续状态系统）或完全相同（对于离散状态）的状态 系统），它们的初始状态。

Poincaré 复发时间是直到复发所经过的时间长度。 根据确切的初始状态和所需的接近程度，这个时间可能会有很大差异。 该结果适用于受到某些约束的孤立机械系统，例如，所有粒子必须被束缚在有限体积内。 该定理通常在遍历理论、动力系统和统计力学的背景下进行讨论。 倍加莱复定理适用的系统称为保守系统。

该定理以 Henri Poincaré 的名字命名，他于 1890 年讨论了该定理，并于 1919 年由 Constantin Carathéodory 使用测度论证明。

由常微分方程定义的任何动力系统都会确定一个流图 f t 映射自身的相空间。 如果相空间中的集合的体积在流动下不变，则称该系统是体积守恒的。 例如，由于刘维尔定理，所有哈密顿系统都是体积守恒的。 那么定理就是：如果流保持体积并且只有有界轨道，那么对于每个开集，与这个开集相交的任何轨道都会无限频繁地与它相交。

定性地说，证明取决于两个前提：

• 可以为总的潜在可访问相空间体积设置有限上限。 对于机械系统，可以通过要求系统包含在空间的有界物理区域中来提供此界限（例如，这样它就不能喷射永远不会返回的粒子）——结合能量守恒，这锁定了 系统进入相空间的有限区域。
• 有限元在动力学下的相体积是守恒的（对于机械系统，这是由刘维尔定理保证的）。

想象相空间的任何有限起始体积 D 1 {\displaystyle D_{1}} 并在系统动力学下遵循其路径。 体积通过相空间中的相管演化，保持其大小不变。 假设一个有限的相空间，经过一些步数 k 1 {\displaystyle k_{1}} 相管必须与自身相交。 这意味着至少起始体积的有限部分 R 1 {\displaystyle R_{1}} 是重复出现的。现在，考虑非返回部分的大小 D 2 {\displaystyle D_{2}} 起始阶段体积——永远不会回到起始体积的那部分。

该定理没有评论此证明不能保证的递归的某些方面：

• 可能有一些特殊阶段永远不会返回到起始阶段体积，或者只返回到起始体积有限次数然后再也不会返回。 然而，这些非常罕见，只占任何起始体积的无穷小部分。
• 并非相位体积的所有部分都需要同时返回。 有些人会在xxx次通过时错过起始音量，只是稍后才返回。
• 在所有可能的相位体积用尽之前，没有什么能阻止相位管完全返回到其起始体积。 一个简单的例子是谐波振荡器。 覆盖所有可访问相体积的系统称为遍历（这当然取决于可访问体积的定义）。

• 可以说的是，对于几乎任何起始阶段，系统最终都会返回到任意接近该起始阶段的位置。 重复时间取决于所需的紧密程度（相体积的大小）。 为了获得更高的复发精度，我们需要取更小的初始体积，这意味着更长的复发时间。
• 对于卷中的给定阶段，重复不一定是周期性重复。 第二次重复时间不需要是xxx次重复时间的两倍。