伟柏电动力学

伟柏电动学， 在这个理论中，库仑定律依赖于速度。 伟柏电机学没有描述电磁波，与狭义相对论不相容。

根据伟柏电动学，同时作用在点电荷 q1 和 q2 上的力 (F) 由下式给出

F = q 1 q 2 r ^ 4 π ϵ 0 r 2 ( 1 − r ˙ 2 2 c 2 + r r ¨ c 2 ) ，其中 r 是连接 q1 和 q2 的向量，r 上的点表示时间导数，c 是光速。 在速度和加速度很小的限制下，这会简化为通常的库仑定律。

相比之下，在麦克斯韦方程中，附近电荷对电荷的作用力 F 可以通过结合 Jefimenko 方程和洛伦兹力定律来计算。 相应的势能约为：

U M a x ≈ q 1 q 2 4 π ϵ 0 r ( 1 − v 1 ⋅ v 2 + ( v 1 ⋅ r ^ ) ( v 2 ⋅ r ^ ) 2 c 2 ) 。

其中 v1 和 v2 分别是 q1 和 q2 的速度，其中为简单起见省略了相对论和延迟效应； 见达尔文拉格朗日。

使用这些表达式，可以推导出安培定律和法拉第定律的正则形式。 重要的是，伟柏电机不会预测像 Biot-Savart 定律这样的表达式，测试安培定律和 Biot-Savart 定律之间的差异是测试伟柏电机的一种方法。

1848 年，在他的电动力 (F) 发展仅两年后，韦伯提出了一种与速度相关的势能，可以从中导出这种力，即：

U W e b = q 1 q 2 4 π ϵ 0 r ( 1 − r ˙ 2 2 c 2 ) 。

这个结果可以使用力 (F) 来实现，因为力可以定义为势场矢量梯度的负值，即

F = − ∇ U W e b 。

考虑到这一点，势能可以通过对 r {displaystyle r} 积分 (F) 并改变符号来获得：

U W e b = − ∫ F d r

其中积分常数被忽略，因为势能为零的点是任意选择的。

力 (F) 的最后两项可以联合起来写成关于 r 的导数。 根据链式法则，我们有 d ( d r d t ) 2 d r = 2 d 2 r d t 2。