压缩映射

在数学中，度量空间 (M,⟩d) 上的收缩映射或收缩或收缩是从 M 到自身的函数 f，其性质是存在某个实数 0 ≤ k <; 1 {\displaystyle 0\leq k<1} 这样对于 M 中的所有 x 和 y

最小的 k 值称为 f 的 Lipschitz 常数。 收缩映射有时称为 Lipschitzian 映射。 如果上述条件满足 fork≤1，则称该映射为非扩展映射。

更一般地，可以为度量空间之间的映射定义收缩映射的概念。 因此，如果 (M, d) 和 (N, d') 是两个度量空间，则 f : M → N {\displaystyle f:M\rightarrow N} 是一个收缩映射

对于 M 中的所有 x 和 y。

每个收缩映射都是 Lipschitz 连续的，因此一致连续（对于 Lipschitz 连续函数，常数 k 不再一定小于 1）。

收缩映射至多有一个不动点。 此外，Banach 不动点定理指出非空完备度量空间上的每个收缩映射都有一个xxx的不动点，并且对于 M 中的任何 x 迭代函数序列 x, f (x), f (f (x )), f (f (f (x))), ...收敛于不动点。 这个概念对于经常使用收缩映射的迭代函数系统非常有用。 Banach不动点定理也被用于证明常微分方程解的存在性，并被用于反函数定理的一个证明。

压缩投影在动态规划问题中起着重要作用。

k = 1 {\displaystyle k=1} 的非膨胀映射可以加强为希尔伯特空间 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 中的稳固非膨胀映射

这是 α {\displaystyle \alpha } 平均非膨胀算子的一个特例，其中 α = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =1/2} 。 通过 Cauchy-Schwarz 不等式，牢固非膨胀映射始终是非膨胀的。

稳固非膨胀映射类在凸组合下是封闭的，但在组合下不是。 此类包括适当的、凸的、下半连续函数的近端映射，因此它还包括到非空闭凸集的正交投影。 稳固非膨胀算子的类等于xxx单调算子的分解集。 令人惊讶的是，虽然迭代非膨胀映射不能保证找到不动点（例如乘以 -1），但只要存在不动点，牢固的非膨胀就足以保证全局收敛到不动点。

分包映射或分包商是度量空间 (M, d) 上的映射 f

如果分包商 f 的图像是紧凑的，则 f 有一个不动点。

在具有由一组半范数 P 给出的拓扑的局部凸空间 (E, P) 中，可以为任何 p ∈⟩P 定义一个 p-收缩作为映射 f，使得有一些 kp <; 1 使得 p(f(x) − f(y)) ≤ kp p(x − y)。 如果 f 是所有 p⟉∈⟩P 的 p-收缩并且 (E, P) 是顺序完整的，则 f 有一个不动点，作为任何序列 xn+1 = f(xn) 的极限给出，并且如果 (E, P ) 是 Hausdorff，则不动点是xxx的。