极限点

在数学中，拓扑空间 X中集合 S 的极限点、累积点或簇点是可以用点近似的点 x S 的意义在于 x 的每个邻域关于 X 上的拓扑也包含 S 的一个点而不是 x 本身。 集合 S 的极限点本身不一定是 S 的元素。还有一个与序列密切相关的概念。 一个序列 ( x n ) n ∈ N 在拓扑空间 X {displaystyle X} 是一个点 x 使得对于 x 的每个邻域 V 有无限多个自然数 n {displaystyle n} 使得 x n ∈ 诉。这种序列的聚类或累积点的定义推广到网络和过滤器。

序列的极限点（分别为滤波器的极限点、网络的极限点）的类似命名概念根据定义是指序列收敛到的点（分别为滤波器收敛到、网络收敛 到）。 重要的是，尽管集合的极限点与集合的聚类/累积点同义，但对于序列（也不是网络或过滤器）而言并非如此。 也就是说，术语序列的极限点与序列的聚类/积累点不是同义词。

集合的极限点不应与附着点（也称为闭合点）混淆，附着点 x 的每个邻域都包含 S 的一个点（即任何点属于 到集合的关闭）。 与极限点不同，S的附着点可能是 x {displaystyle x} 本身。 极限点可以表征为不是孤立点的附着点。

集合的极限点也不应与边界点混淆。

这个概念有益地概括了极限的概念，并且是诸如闭集和拓扑闭包等概念的基础。 事实上，一个集合是封闭的，当且仅当它包含它的所有极限点，并且拓扑闭合操作可以被认为是通过将它与它的极限点联合来丰富一个集合的操作。

如果我们将条件限制为仅开放社区，这并没有什么不同。 通常使用定义的开邻域形式来证明一个点是极限点，并使用定义的一般邻域形式从已知极限点导出事实通常很方便。