李雅普诺夫函数

在常微分方程 理论中，可用于证明 ODE 平衡稳定性的标量函数。 李雅普诺夫奇数对动力系统的稳定性理论和控制理论具有重要意义。 类似的概念出现在广义状态空间马尔可夫链理论中，通常命名为福斯特-李雅普诺夫函数。

对于某些类的 ODE，李雅普诺夫函数的存在是稳定性的充分必要条件。 虽然没有为 ODE 构造李雅普诺夫函数的通用技术，但在许多特定情况下，李雅普诺夫函数的构造是已知的。 例如，二次函数足以满足具有一个状态的系统； 特定线性矩阵不等式的解为线性系统提供了李雅普诺夫函数； 守恒定律通常可用于为物理系统构建李雅普诺夫函数。

一个自主动力系统的李雅普诺夫函数

{ g : R n → R n y ˙ = g ( y )

平衡点在 y = 0  是一个标量函数 V : R n → R 是连续的，具有连续的一阶导数，对于 y ≠ 0是严格正的，其中时间导数 V ˙ = ∇ V ⋅ g 是非正的（这些条件在包含原点的某些区域上是必需的）。 − ∇ V ⋅ g 严格为正的（更强的）条件有时表示为 − ∇ V ⋅ g是局部正定的，或者 ∇ V ⋅ g 是局部负定的。

李雅普诺夫函数出现在动力系统平衡点的研究中。 在 R n 中，一个任意的自治动力系统可以写成

y ˙ = g ( y )

对于一些平滑的 g : R n → R n 。

设 x ∗ = 0 {\displaystyle x{*}=0} 是自治系统的平衡

x˙=f(x)。

并使用符号 V ˙ ( x ) 表示李亚普诺夫候选函数 V 的时间导数：

V ˙ ( x ) = d d t V ( x ( t ) ) = ∂ V ∂ x ⋅ d x d t = ∇ V ⋅ x ˙ = ∇ V ⋅ f ( x ) 。

如果平衡是孤立的，李亚普诺夫候选函数 V  是局部正定的，而李亚普诺夫候选函数的时间导数是局部负定的：

V ˙ ( x ) < 0 ∀ x ∈ B ∖ { 0 }

对于原点的某个邻域 B 则平衡被证明是局部渐近稳定的。

如果 V  是一个李雅普诺夫函数，则平衡是李雅普诺夫稳定的。