亥姆霍兹方程

在数学中，拉普拉斯算子的特征值问题被称为亥姆霍兹方程。 它对应于线性偏微分方程 ∇ 2 f = − k 2 f ,

其中 ∇2 是拉普拉斯算子，k2 是特征值，f 是函数。 当方程应用于波时，k 被称为波数。 亥姆霍兹方程在物理学中有多种应用，包括波动方程和扩散方程，在其他科学中也有用途。

亥姆霍兹方法经常出现在研究涉及空间和时间的偏微分方程 (PDE) 的物理问题时。 亥姆霍兹方法代表了波动方程的时间无关形式，它是应用变量分离技术来降低分析复杂性的结果。

变量分离首先假设波函数 u(r, t) 实际上是可分离的：u ( r , t ) = A ( r ) T ( t ) 。

将这种形式代入波动方程再化简，得到如下方程： ∇ 2 A A = 1 c 2 T d 2 T d t 2 。

请注意，左侧的表达式仅取决于 r，而右侧的表达式仅取决于 t。 因此，这个等式在一般情况下是有效的当且仅当等式两边都等于相同的常数值。 这个论点是通过变量分离求解线性偏微分方程的技术的关键。 从这个观察中，我们得到两个方程，一个用于 A(r)，另一个用于 T(t)： ∇ 2 A A = − k 2

在不失一般性的情况下，我们选择了表达式 −k2 作为常量值。

重新排列xxx个方程，我们得到亥姆霍兹方程： ∇ 2 A + k 2 A = ( ∇ 2 + k 2 ) A = 0。

同样，在代入 ω = kc 后，其中 k 是波数，ω 是角频率（假设是单色场），第二个方程变为

d 2 T d t 2 + ω 2 T = ( d 2 d t 2 + ω 2 ) T = 0。

我们现在有了空间变量 r 的亥姆霍兹方程和时间上的二阶常微分方程。 时间上的解将是正弦和余弦函数的线性组合，其确切形式由初始条件决定，而空间解的形式将取决于边界条件。 或者，积分变换（例如拉普拉斯变换或傅立叶变换）通常用于将双曲 PDE 变换为亥姆霍兹方程的形式。

由于它与波动方程的关系，亥姆霍兹方程出现在诸如电磁辐射、地震学和声学研究等物理学领域的问题中。

空间亥姆霍兹方法的解： ∇ 2 A = − k 2 A 可以通过变量分离得到简单几何。

振动弦的二维模拟是振动膜，其边缘被夹紧以保持静止。

如果一个形状的边缘是直线段，那么只有当它可以表示为满足边界条件.

如果域是一个半径为 a 的圆，那么引入极坐标 r 和 θ 是合适的。 亥姆霍兹方法的形式为 A r r + 1 r A r + 1 r 2 A θ θ + k 2 A = 0。

如果 r = a，我们可以施加 A 消失的边界条件； 因此 A ( a , θ ) = 0。

变量分离法得出 A ( r , θ ) 形式的试验解 。