莫尔圆

莫尔圆是柯西应力张量变换定律的二维图形表示。

莫尔圆经常用于与机械工程有关的材料强度计算、岩土工程有关土壤强度的计算以及结构工程有关建筑结构强度的计算。 它还用于计算许多平面中的应力，方法是将它们简化为垂直和水平分量。 这些称为计算主应力的主平面； 莫尔圆也可用于在图形表示中查找主平面和主应力，这是最简单的方法之一。

在对假设为连续体的物质体进行应力分析后，特定物质点的柯西应力张量分量相对于坐标系是已知的。 然后使用莫尔圆以图形方式确定作用在旋转坐标系上的应力分量，即作用在通过该点的不同方向的平面上。

每个点的横坐标和纵坐标（ σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} , τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} ） 圆分别是作用在旋转坐标系上的法向应力和剪应力分量的大小。 换句话说，圆是代表各个平面在所有方向上的应力状态的点的轨迹，其中轴代表应力元素的主轴。

19 世纪的德国工程师 Karl Culmann 是xxx个在考虑弯曲过程中水平梁的纵向和垂直应力时构思出应力图形表示的人。 他的工作启发了德国工程师 Christian Otto Mohr（与圆同名），后者将其扩展到二维和三维应力，并开发了基于应力圆的失效准则。

表示点处应力状态的替代图形方法包括拉梅应力椭圆体和柯西应力二次曲面。

莫尔圆可以应用于任何对称的 2x2 张量矩阵，包括应变和惯性矩张量。

内力是在可变形物体的粒子之间产生的，假定为连续体，作为对施加的外力（即表面力或体积力）的反应。 这种反应遵循欧拉的连续体运动定律，这等同于牛顿的粒子运动定律。 衡量这些内力强度的指标称为应力。 因为物体被假定为连续体，所以这些内力在物体的体积内连续分布。

在工程（例如结构、机械或岩土工程）中，对象内的应力分布（例如隧道、飞机机翼或建筑柱周围岩体中的应力）是通过应力分析确定的。 计算应力分布意味着确定物体中每个点（材料颗粒）的应力。 根据 Cauchy 的说法，物体（图 2）中任意点的应力，假设为连续体，完全由二阶张量的九个应力分量 σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}} 定义 类型 (2,0) 称为柯西应力张量，

在根据坐标系 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 确定物体内的应力分布后，可能需要计算特定材料点 P 处的应力张量分量 {\displaystyle P} 相对于旋转坐标系 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} ，即作用在不同方向的平面上的应力通过 兴趣点——与坐标系 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 形成一个角度（图 3）。 例如，找到xxx正应力和xxx剪应力，以及它们作用的平面的方向是很有意义的。