调和分析

调和分析是数学的一个分支，涉及将函数或信号表示为基本波的叠加，以及傅里叶级数和傅里叶变换（即傅里叶分析的扩展形式）概念的研究和推广。 在过去的两个世纪里，它已经成为一个广泛的学科，在数论、表示论、信号处理、量子力学、潮汐分析和神经科学等不同领域都有应用。

谐波一词起源于古希腊语 harmonikos，意思是音乐技巧。 在物理特征值问题中，它开始指的是频率是彼此整数倍的波，就像音符的谐波频率一样，但这个术语已经超出了它的原始含义。

Rn 上的经典傅里叶变换仍然是一个正在进行的研究领域，特别是关于更一般对象（如回火分布）的傅里叶变换。 例如，如果我们对分布 f 施加一些要求，我们可以尝试将这些要求转换为 f 的傅立叶变换。 佩利-维纳定理就是一个例子。 Paley-Wiener 定理立即暗示如果 f 是紧支撑的非零分布（包括紧支撑的函数），那么它的傅里叶变换永远不会紧支撑（即如果信号在一个域内受限，则在整个域内是无限的） 其他）。 这是谐波分析设置中不确定性原理的一种非常基本的形式。

傅里叶级数可以在希尔伯特空间的背景下方便地研究，它提供了调和分析和泛函分析之间的联系。 傅立叶变换有四种版本，具体取决于变换映射的空间（离散/周期-离散/周期：离散傅立叶变换，连续/周期-离散/非周期：傅立叶级数，离散/非周期-连续/周期 : 离散时间傅立叶变换，连续/非周期-连续/非周期：傅立叶变换)。

起源于 20 世纪中叶的调和分析最现代的分支之一是对拓扑群的分析。 核心激励思想是各种傅立叶变换，它们可以推广到定义在豪斯多夫局部紧拓扑群上的函数变换。

阿贝尔局部紧群的理论称为 Pontryagin 对偶性。

调和分析研究了对偶性和傅立叶变换的性质，并尝试将这些特征扩展到不同的设置，例如，非交换李群的情况。

对于一般的非阿贝尔局部紧群，调和分析与酉群表示理论密切相关。 对于紧群，Peter-Weyl 定理解释了如何通过从每个等价表示类中选择一个不可约表示来获得谐波。 这种谐波的选择享有经典傅立叶变换的一些有用特性，在将卷积带入逐点乘积方面，或者以其他方式显示对基础群结构的某种理解。 另请参阅：非交换调和分析。

如果群既不是阿贝尔群也不是紧群，则目前还没有普遍令人满意的理论（令人满意意味着至少与 Plancherel 定理一样强大）。 但是，已经分析了许多具体情况，例如 SLn。 在这种情况下，无限维度的表示起着至关重要的作用。

• 对拉普拉斯算子在域、流形和（较小程度上）图上的特征值和特征向量的研究也被视为调和分析的一个分支。 参见，例如，听到鼓的形状。
• 欧氏空间的调和分析处理 Rn 上的傅里叶变换的性质，这些性质在一般群上没有模拟。 例如，傅里叶变换是旋转不变的。 将傅立叶变换分解为其径向和球面分量会引出贝塞尔函数和球谐函数等主题。
• 关于管域的调和分析涉及将哈代空间的性质推广到更高维度。

谐波分析在科学和工程中的许多应用都是从这样的想法或假设开始的，即一种现象或信号是由单个振荡分量的总和组成的。 海洋潮汐和振动弦是常见而简单的例子。 理论方法通常是尝试通过微分方程或方程组来描述系统，以预测基本特征，包括振幅、频率和振荡分量的相位。 具体方程取决于领域，但理论通常会尝试选择代表适用的主要原理的方程。