傅里叶分析

在数学中，傅里叶分析（/ˈfʊrieɪ,-iər/）是研究一般函数如何通过较简单的三角函数之和来表示或近似。

傅里叶分析源于对傅里叶级数的研究，并以约瑟夫-傅里叶的名字命名，他表明将一个函数表示为三角函数之和可以大 大简化热传递的研究。

傅里叶分析的主题包含了一个巨大的数学范围。

在科学和工程领域，将一个函数分解成振荡成分的过程通常被称为傅里叶分析，而从这些碎片中重建函数的操作被称为傅里叶合成。例如，确定一个音符中存在哪些频率成分，需要计算采样音符的傅里叶变换。然后，人们可以通过包括傅里叶分析中显示的频率成分来重新合成同一个声音。

在数学中，傅里叶分析一词通常指的是对这两种操作的研究。分解过程本身被称为傅里叶变换。它的输出，即傅里叶变换，常常被赋予一个更具体的名称，这取决于被变换的函数的域和其他属性。此外，随着时间的推移，傅里叶分析的原始概念已经被扩展到适用于越来越多的抽象和一般情况，一般的领域通常被称为谐波分析。

每一个用于分析的变换（见傅里叶相关变换列表）都有一个相应的反变换，可用于综合分析。要使用傅里叶分析，数据必须是等距的。

已经开发了不同的方法来分析不等距的数据，特别是最小二乘频谱分析（LSSA）方法，该方法使用正弦波的最小二乘拟合数据样本，与傅里叶分析类似。

傅里叶分析是科学中最常用的频谱方法，通常会提高长间隔记录中的长周期噪声；LSSA可以减轻这种问题。

傅里叶分析有许多科学应用--在物理学、偏微分方程、数论、组合学、信号处理、数字图像处理、概率论、统计学、法医学、期权定价、密码学、数值分析、声学、海洋学、声纳、光学、衍射、几何学、蛋白质结构分析以及其他领域。

这种广泛的适用性源于变换的许多有用特性。变换是线性算子，通过适当的归一化，也是单一的（这一特性被称为Parseval定理或更普遍的Plancherel定理，最普遍的是通过Pontryagin二元性）。

变换通常是可逆的。指数函数是微分的特征函数，这意味着这种表示方法将具有恒定系数的线性微分方程转化为普通代数方程。因此，线性时变系统的行为可以在每个频率上独立分析。

根据卷积定理，傅里叶变换将复杂的卷积操作变成简单的乘法，这意味着它们提供了一种有效的方法来计算基于卷积的操作，如信号过滤、多项式乘法和大数乘法。离散版的傅里叶变换可以在计算机上使用快速傅里叶变换（FFT）算法进行快速评估。

在法医领域，实验室红外分光光度计使用傅里叶变换分析来测量材料在红外光谱中会吸收的光的波长。

傅立叶方法被用来对测量信号进行解码并记录波长数据。而通过使用计算机，这些傅里叶计算可以迅速进行，因此在几秒钟内，由计算机操作的FT-IR仪器可以产生与棱镜仪器相当的红外吸收模式。

傅立叶变换作为一种信号的紧凑表示法也很有用。例如，JPEG压缩使用了数字图像的小方块的傅里叶变换（离散余弦变换）的变体。

每个正方形的傅里叶分量被四舍五入到较低的算术精度，弱的分量被完全消除，因此剩下的分量可以被非常紧凑地存储。

在图像重建中，每个图像方块都是由保留的近似傅里叶变换的分量重新组合而成的，然后再进行反变换，产生原始图像的近似值。

在信号处理中，傅里叶变换通常采用一个时间序列或一个连续时间的函数，并将其映射为一个频谱。