等效位能

有效势能（也称为有效势能）将多种可能相反的效应组合成一个势能。 在其基本形式中，它是“相反”的离心势能与动力系统势能的总和。 它可用于确定行星的轨道（牛顿和相对论）和执行半经典原子计算，并且通常可以将问题减少到更少的维度。

潜在的 U eff {dISPlaystyle U_{text{eff}}} 的基本形式被定义为： U eff ( r ) = L 2 2 μ r 2 + U ( r ) , {diSPlaystyle U_{ text{eff}}(mathbf {r} )={frac {L{2}}{2mu r{2}}}+U(mathbf {r} ),} 其中

• L是角动量
• r 是两个质量之间的距离
• μ 是两个天体的约合质量（如果一个质量远大于另一个，则大约等于轨道天体的质量）； 和
• U(r) 是势的一般形式。

有效势有许多有用的特征，例如 U eff ≤ E 。 {displaystyle U_{text{eff}}leq E.}

要找到圆形轨道的半径，只需将相对于 r {displaystyle r} 的有效势最小化，或者等效地将合力设置为零，然后求解 r 0 {displaystyle r_{0}} : d U eff d r = 0 {displaystyle {frac {dU_{text{eff}}}{dr}}=0} 在求解 r 0 {displaystyle r_{0}} 后，将其重新插入 U eff {displaystyle U_{text{eff}}} 求有效势的最大值 U eff max {displaystyle U_{text{eff}}{text{max}}} .

圆形轨道可以是稳定的也可以是不稳定的。 如果它不稳定，一个小的扰动可能会使轨道不稳定，但稳定的轨道会恢复平衡。 要确定圆形轨道的稳定性，请确定有效势的凹度。 如果凹性为正，则轨道稳定： d 2 U eff d r 2 >; 0 {displaystyle {frac {d{2}U_{text{eff}}}{dr{2}}}>0}

使用基本的哈密顿分析，小振荡的频率是 ω = U eff ″ m , {displaystyle omega ={sqrt {frac {U_{text{eff}}''} {m}}},} 其中双素数表示有效势关于 r {displaystyle r} 的二阶导数，并且它被评估为最小值。

考虑一个质量为 m 的粒子绕着一个质量为 M 的重得多的物体运行。假设牛顿力学既是经典的又是非相对论的。 能量守恒和角动量给出两个常数 E 和 L，其值为 E = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 ϕ ˙ 2 ) − G m M r , {displaystyle E={frac { 1}{2}}mleft({dot {r}}{2}+r{2}{dot {phi }}{2}right)-{frac { GmM}{r}},} L = m r 2 ϕ ˙ {displaystyle L=mr{2}{dot {phi }}} 当较大质量的运动可以忽略不计时。 在这些表达中，

• r ˙ {displaystyle {dot {r}}} 是 r 对时间的导数，
• ϕ ˙ {displaystyle {dot {phi }}} 是质量 m 的角速度，
• G是万有引力常数，
• E 是总能量，
• L 是角动量。

只需要两个变量，因为运动发生在一个平面上。  原来的双变量问题已经简化为单变量问题。 对于许多应用，有效势能可以像一维系统的势能一样处理：例如，使用有效势能的能量图确定转折点以及稳定和不稳定平衡的位置。 类似的方法可以用于其他应用，例如确定广义相对论 Schwarzschild 度量中的轨道。

等效位能广泛应用于各种凝聚态子领域，例如 高斯核势 (Likos 2002, Baeurle 2004) 和筛选库仑势 (Likos 2001)。