等时降线

tautochrone 或 isochrone 曲线（源自希腊语前缀 tauto- 意思是相同或等同，以及 chrono time）是这样的曲线，其中物体在均匀重力下无摩擦地滑动到其最低点所花费的时间与其起点无关 曲线。 该曲线是摆线，时间等于 π 乘以半径（产生摆线的圆）对重力加速度的平方根。 等时线与最慢线有关，也是摆线。

正是在 Pequod 的左手试锅中，滑石在我周围勤奋地盘旋，我xxx次间接地被一个非凡的事实所打动，即在几何学中，所有沿着摆线滑动的物体，例如我的滑石，都会从 在同一时间的任何一点。

赫尔曼·梅尔维尔 (Herman Melville) 的白鲸记 (Moby Dick)，1851 年

克里斯蒂安·惠更斯 (Christiaan Huygens) 于 1659 年解决了自同步问题，即试图识别这条曲线的尝试。他在最初发表于 1673 年的 Horologium Oscillatorium 中用几何学证明了这条曲线是一条摆线。

轴垂直竖立、顶点在下的摆线，物体离开摆线上任一点后到达顶点最低点的下降次数等于各点 其他 ...

摆线由半径为 r {displaystyle r} 的圆上的一个点给出，当圆沿 x {displaystyle x} 轴滚动时跟踪曲线，如：x = r ( θ − sin ⁡ θ ) y = r ( 1 − cos ⁡ θ ) , {displaystyle {begin{aligned}x&=r(theta -sin theta )y&=r(1- cos theta ),end{对齐}}}

惠更斯还证明了下降时间等于物体垂直下落的时间，距离与产生摆线的圆的直径相同，乘以 π / 2 {displaystyle pi /2} 。 用现代术语来说，这意味着下降时间是 π r / g {textstyle pi {sqrt {r/g}}} ，其中 r {displaystyle r} 是圆的半径 产生摆线，g {displaystyle g} 是地球的重力，或者更准确地说，是地球的重力加速度。

这个解法后来被用来解决最速线的问题。 约翰·伯努利 (Johann Bernoulli) 在一篇论文（Acta Eruditorum，1697 年）中解决了这个问题。

惠更斯更仔细地研究了自同步问题，因为他意识到沿着圆形路径运动的钟摆不是等时的，因此他的摆钟会根据钟摆摆动的距离保持不同的时间。 确定正确的路径后，克里斯蒂安·惠更斯尝试创建摆钟，使用一根绳子悬挂摆锤，并在绳子顶部附近遏制脸颊，以改变到等时线曲线的路径。 由于多种原因，这些尝试被证明无济于事。 首先，弦的弯曲会引起摩擦，从而改变时间。 其次，还有更多重要的计时误差源，这些误差压倒了在等时曲线上行进所帮助的任何理论改进。 最后，摆的圆周误差随着摆动长度的减少而减小，因此更好的时钟擒纵机构可以xxx减少这种不准确的来源。

后来，数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日和莱昂哈德·欧拉为该问题提供了解析解。

如果粒子的位置由距离最低点的弧长 s(t) 参数化，则动能与 s ˙ 2 成正比。 {displaystyle {dot {s}}{2}.} 势能与高度 y(s) 成正比。 曲线可以是等时线的一种方式是，如果拉格朗日量是简谐振子的曲线：曲线的高度必须与弧长的平方成正比。

y ( s ) = s 2 , {displaystyle y(s)=s{2},}

其中比例常数已通过更改长度单位设置为 1。

这个关系的微分形式是

d y = 2 s d s , d y 2 = 4 s 2 d s 2 = 4 y ( d x 2 + d y 2 ) , {displaystyle {begin{aligned}dy&=2s,ds,dy{ 2}&=4s{2},ds{2}=4yleft(dx{2}+dy{2}right),end{对齐}}}

它消除了 s，并留下 dx 和 dy 的微分方程。 要找到解决方案，请根据 y 对 x 进行积分：

d x d y = 1 − 4 y 2 y , x = ∫ 1 − 4 u 2 d u , {displaystyle {begin{aligned}{frac {dx}{dy}}&={frac { sqrt {1-4y}}{2{sqrt {y}}}},x&=int {sqrt {1-4u{2}}},du, end{对齐}}}

其中 u = y {displaystyle u={sqrt {y}}} 。 这个积分就是圆下面的面积，可以很自然的切割成三角形和圆楔形：

x = 1 2 u 1 − 4 u 2 + 1 4 arcsin ⁡ 2 u , y = u 2 。 {displaystyle {begin{aligned}x&={tfrac {1}{2}}u{sqrt {1-4u{2}}}+{tfrac {1}{4} }arcsin 2u,y&=u{2}.end{对齐}}}

要看到这是一个奇怪的参数化摆线，通过定义角度 θ = arcsin 来改变变量以分离超越和代数部分。