椭圆曲线密码学

椭圆曲线密码学 (ECC) 或椭圆曲线密码学，表示非对称密码系统，它使用有限实体上的椭圆曲线操作。 仅当无法有效计算椭圆曲线点集中的离散对数时，这些方法才是安全的。

任何基于有限域中离散对数的方法，可以很容易地转化为椭圆曲线，从而转化为椭圆曲线密码体制。 原始方法中在有限域上使用的运算（乘法和求幂）被椭圆曲线上的点上的相应运算（点加法和标量乘法）代替。 将一个点 P 与其自身相加 n次记为 n P 并对应于 x n 在原始过程中。

可以在椭圆曲线上定义加性循环群，由曲线上的点的倍数组成，即群的生成元。 在组中添加两个点很容易，但是有些曲线很难对点 A  进行“标量除法”，即 即，没有已知的有效方法来获得自然数 a 和 a P = A。 因此，在这些曲线上的乘法群中存在类似于离散对数问题 (DLP) 的问题，也称为 DLP。

此外，还有曲线 E ，在其上双线性映射 e : E × E → G  到群 G 称为配对存在。 在这些曲线中，DDH 很简单，因为 e ( a P , b P ) = e ( P , a b P )  成立，但配对的存在允许它有许多新颖的应用。

由于椭圆曲线中的离散对数问题 (ECDLP) 比有限域中的离散对数计算或整数分解要困难得多，因此基于椭圆曲线的密码系统——具有相当的安全性——使用比短得多的密钥就可以解决问题传统的非对称加密方法。 根据目前的知识。 例如，对于 160 位的密钥长度，安全性类似于使用 1024 位的 RSA 实现的安全性。因此，ECC 特别适用于存储或计算能力有限的情况，例如在智能卡或其他嵌入式系统中。

安全等级栏是指相对安全的对称加密算法的比特长度。

椭圆曲线上的数xxx算比相对较大的有限体或 RSA 模块中的运算更复杂。 然而，使用明显更短的密钥，可以获得与基于离散对数或 RSA 的方法相当的安全级别。 除其他事项外，较短的键可以椭圆曲线-因此，具有可比安全级别的加密系统将更快。 然而，这些密码方法的计算效率的比较在很大程度上取决于实现的细节（密码参数、算法、优化、编程语言和编译器、底层硬件）。

椭圆曲线密码学受现代 Windows 操作系统的支持。