傅科摆

傅科摆是一种三维摆，摆长和质量都很大，借助它可以探测到地球的自转，而无需在天空中进行天文观测。

物理上的解释是，地球自转的主要作用是地球从摆的振荡平面下方旋转，而振荡平面本身保持不变。这在北极或南极最容易看到，因为尽管地球自转，钟摆的悬点仍在那里保持静止。因此，在一个恒星日，地球将在钟摆下恰好自转一周。（与恰好 24 小时太阳日的四分钟差异是由于太阳在星空中移动得更远。）在钟摆上观察到的自转与地球自转的方向相反，即向右北极（即顺时针方向），在南极向左。 另一方面，在赤道，摆的摆动平面相对于地面根本不旋转。 越靠近两极，旋转越强。

从认为地球处于静止状态的观察者的角度来看，摆的平面以描述的方式旋转。 这是由于在其参考系中除重力外还存在惯性力。 这就是科里奥利力，它始终垂直于相对于地球参考系的运动方向作用在摆锤上，并使其在北半球向右偏转，在南半球向左偏转。 结果，振动平面围绕通过悬挂点的垂线旋转。

这种旋转的角速度是恒定的。它相当于

ω Coriolis = Ω sin ⁡ ( φ )

其中 Ω  是地球的角速度， φ 是悬浮点的纬度。

考虑一个位于北半球纬度 φ 位置的数学摆。 地球坐标系 x , y , z  的方向是在摆的底部 e ^ x向东， e ^ y向北， e ^ z向天顶。这个摆的长度 l 应该比它的振幅 A 大得多，所以 z = 0 作为一个很好的近似适用于摆锤。摆锤保持在 x-y 平面内并且错误驱动（通过重力加速度 g ）谐波近似中的恢复力

F → r = − m g l ( x y 0 ) 。

如果 x-y 平面代表一个惯性系统，那么摆将在其中以频率 ω 0 = g / l。根据初始条件，这将是通过最低点的线性振荡，或者椭圆形，或者围绕最低点的圆，轨迹在 x-y 平面中不变。

但是，地固xyz坐标系不是惯性系；地球以角速度 Ω →  旋转。（月球和太阳吸引力的影响可以完全忽略。）旋转轴穿过两极（ φ = + 90  在两极），星等角速度的 Ω = 360 ∘ / 恒星日 = 2 π / ( 86164 s ) ≈ 7 .3 ⋅ 10 − 5 s − 1 。为了计算同向旋转 xyz 参考系中的运动，必须将离心力添加到线性恢复力中

F → Zf = − m Ω → × ( Ω → × R → )

唯 一实际可观察​​到的变化是由于整个轨迹在围绕垂直 z 轴的振荡平面中以角速度 − Ω sin ⁡ ( φ ) 旋转。在以与地球固定坐标系相同的角速度旋转的参考坐标系中，摆锤保持其轨迹的方向。即它的行为就像在惯性系中一样。对于静止位置在北极的钟摆，这是最容易看到的。

在那里，地球只是自转（逆时针）远离钟摆下方，这对钟摆的运动没有影响。（这同样适用于南极，但这里是顺时针旋转，因为由于在南半球使用纬度作为 φ 的变量， - φ 必须是用于所有公式。）

对于与 Ω 呈线性关系的科里奥利力 → {displaystyle {vec {Omega }}} ，可以分别考虑这两个分量的影响。由于 Ω z 产生的科里奥利力垂直于 z 轴，即垂直于振荡平面。

它导致观察到的轨迹方向的旋转。由 Ω y {displaystyle Omega _{y}} 引起的科里奥利力只有微不足道的影响，因为它垂直于身体所束缚的 x-y 平面，此外，它的大小至少是一个因子 Ω / ω 0 ⋅ A / l ≈ 10 − 6 小于垂直重力。（数量级由现有傅科摆条件下的最 大速度 v m a x = A ω 0 {displaystyle v_ 得出。）

另一方面，离心力取决于 Ω → 。离心力的静态作用使地球偏离球形（地球扁平化21公里）并改变重力加速度的方向和大小；这些影响已经在很大程度上以参数 g {displaystyle g} 的测量值的形式考虑在内。

另一个对摆动周期和摆锤轨迹的影响可以忽略不计，因为由于二次相关性，离心力至少由因子 Ω 2 / ω 0 2 ≈ 10 − 8 相比恢复力 {2}/omega _{0}^{2}approx 10^{-8}} 弱点。