频带限制

频带限制是指将信号的频域表示或频谱密度限制在某个有限的频率以上为零。一个带限信号是一个其傅里叶变换或频谱密度具有有界支持的信号。一个带限信号可以是随机的（随机的），也可以是非随机的（决定性的）。一般来说，在一个信号的连续傅里叶级数表示中需要无限多的项，但如果可以从该信号中计算出有限数量的傅里叶级数项，该信号就被认为是带限的。

一个带限信号可以从其采样中完全重建，只要采样率超过带限信号中xxx频率的两倍。这个最小采样率被称为奈奎斯特率。这个结果通常归功于奈奎斯特和香农，被称为奈奎斯特-香农采样定理。一个简单的确定性带限信号的例子是一个正弦波，其形式为x(t)=sin(2πft+θ){displaystylex(t)=sin(2pift+theta)}。完全来自这些样本。同样，具有不同频率和相位的正弦波之和也是带限的，即它们的频率最高。图中所示的傅里叶变换的信号也是带限的。假设x(t){displaystylex(t)}是一个信号，其傅里叶变换是在图中显示的。是一个信号，其傅里叶变换为X(f){displaystyleX(f)}，其傅里叶变换为X(f){displaystyleR_{N}=2B,}或者说是信号中最高频率成分的两倍。或信号中最高频率成分的两倍，如图所示。根据采样定理，有可能重构使用惠特克-香农插值公式可以完成从样本中重建信号的工作。

一个带限信号不能同时具有限时性。更确切地说，一个函数和它的傅里叶变换不可能都有有限的支持，除非它是相同的零。这个事实可以用复数分析和傅里叶变换的特性来证明。证明。假设一个信号f(t)在两个域中都有有限支持，并且不为零。让我们以比奈奎斯特频率更快的速度对其进行采样，并计算各自的傅里叶变换{displaystyleF_{2}}是三角函数之和。是一个三角函数之和，由于f(t)是有时间限制的，这个和将是有限的，所以{displaystyleF_{2}}实际上是一个三角函数之和。实际上将是一个三角多项式。所有的三角多项式在整个复数平面上都是全形的，在复数分析中有一个简单的定理，说非常数全形函数的所有零点都是孤立的。

但这与我们先前的发现相矛盾，即{displaystyleF_{2}}的发现相矛盾。有充满零点的区间，因为这种区间的点不是孤立的。因此，xxx受时间和带宽限制的信号是一个恒定的零。这一结果的一个重要后果是，在任何现实世界的情况下，都不可能产生一个真正的带限信号，因为带限信号需要无限的时间来传输。所有现实世界的信号都是有时间限制的，这意味着它们不可能是带限的。然而，带限信号的概念对于理论和分析来说是一个有用的理想化。