模糊度量理论

在数学中，模糊度量理论考虑了广义的度量，其中加性属性被较弱的单调性属性所取代。模糊度量理论的核心概念是模糊度量（也是容量）。存在许多不同类别的模糊度量，包括可信度/信念度量；可能性/必然性度量；以及作为经典度量的一个子集的概率度量。

设{displaystylemathbf{X}}是一个话语宇宙。是一个话语的宇宙。{displaystyleemptysetin{mathcal{C}}Rightarrowg(emptyset)=0}。E⊆F⇒g(E)≤g(F){displaystyleEsubseteqFRightarrowg(E)leqg(F)}称为模糊度量。一个模糊度量被称为规范化或规则化，如果{displaystyleEin{mathcal{C}}，就有可能是布尔的。｝了解模糊度量的属性在应用中是很有用的。当模糊度量被用来定义一个函数，如Sugeno积分或Choquet积分时，这些属性对理解函数的行为至关重要。例如，相对于加性模糊度量的Choquet积分可简化为Lebesgue积分。在离散情况下，对称模糊度量将导致有序加权平均（OWA）算子。亚模态模糊度量的结果是凸函数，而超模态模糊度量的结果是凹函数，当用于定义Choquet积分时。

让g是一个模糊度量，g的莫比乌斯表示法是由集合函数M给出的，其中对于每个莫比乌斯表示可以用来指示X的哪些子集相互影响。例如，一个加法模糊度量的莫比乌斯值除了单子外都等于零。标准表示中的模糊度量g可以用Zeta变换从莫比乌斯形式中恢复出来。

模糊度量是在集合的语义或单调类上定义的，其颗粒度可以达到X的幂集，甚至在离散情况下，变量的数量可以达到2|X|大。由于这个原因，在多标准决策分析和其他学科的背景下，人们引入了对模糊度量的简化假设，以便在确定和使用时减少计算成本。