双线性转换

双线性变换，在数字信号处理和离散时间控制理论中用于将连续时间系统表示形式转换为离散时间，反之亦然。

双线性变换是共形映射（即莫比乌斯变换）的一个特例，常用于将传递函数 H a ( s ) {\displaystyle H_{a}(s)} 转换为线性、时不变的 (LTI) 滤波器在连续时间域（通常称为模拟滤波器）到传递函数 H d ( z ) {\displaystyle H_{d}(z)} 在离散- 时域（通常称为数字滤波器，尽管存在由离散时间滤波器的开关电容器构成的模拟滤波器）。 它将 j ω {\displaystyle j\omega } 轴 R e [ s ] = 0 {\displaystyle \mathrm {Re} [s]=0} 上的位置映射到单位 圈子， | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} ，在 z 平面中。 其他双线性变换可用于扭曲任何离散时间线性系统的频率响应（例如近似人类听觉系统的非线性频率分辨率），并且可以通过替换系统的单元在离散域中实现 延迟 ( z − 1 ) {\displaystyle \left(z{-1}\right)} 一阶全通滤波器。

该变换保持稳定性，并将连续时间滤波器的频率响应的每个点 H a ( j ω a ) {\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})} 映射到对应点 离散时间滤波器的频率响应 H d ( e j ω d T ) {\displaystyle H_{d}(e{j\omega _{d}T})} 尽管频率有所不同，如图所示 在下面的频率扭曲部分。 这意味着对于在模拟滤波器的频率响应中看到的每一个特征，在数字滤波器的频率响应中都有一个具有相同增益和相移的对应特征，但可能在稍微不同的频率上。 这在低频下几乎不明显，但在接近奈奎斯特频率的频率下非常明显。

双线性变换是自然对数函数的一阶 Padé 近似值，它是 z 平面到 s 平面的精确映射。 当对离散时间信号执行拉普拉斯变换时（离散时间序列的每个元素都附加到相应延迟的单位脉冲），结果恰好是离散时间序列的 Z 变换

其中 T {\displaystyle T} 是双线性变换推导中使用的梯形法则的数值积分步长； 或者，换句话说，采样周期。

双线性变换本质上是使用这个一阶近似并代入连续时间传递函数

如果连续时间因果滤波器的传递函数的极点落在复数 s 平面的左半部分，则它是稳定的。 如果离散时间因果滤波器的传递函数的极点落在复数 z 平面的单位圆内，则它是稳定的。

双线性变换将复数 s 平面的左半部分映射到 z 平面中单位圆的内部。 因此，在连续时间域中设计的稳定滤波器被转换为在离散时间域中保持稳定性的滤波器。

同样，如果连续时间滤波器的传递函数的零点落在复数 s 平面的左半部分，则它是最小相位的。